« Systèmes dynamiques et équations différentielles » : différence entre les versions

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== Les mouvements au voisinage d'un équilibre ==
 
=== Un flot est presque linéaire au voisinage d'un équilibre ===
 
Soit <math>F</math> le flot dans <math>\R^n</math> d'un système dynamique <math>S</math>
 
Les points d'équilibre de <math>S</math> sont les points de <math>\R^n</math> où il est immobile <math>\mathbf{x'}=0</math>
 
Comme <math>\mathbf{x'}=F(\mathbf{x})</math> les points d'équilibre de <math>S</math> sont les points <math>\mathbf{x}</math> où son flot s'annule :
 
<math>F(\mathbf{x})=0</math>
 
Au voisinage d'un point d'équilibre <math>\mathbf{x}_0</math>, le flot <math>F</math> est peu différent de sa différentielle <math>dF</math> en ce point :
 
<math>F(\mathbf{x}_0+\mathbf{dx}) \approx F(\mathbf{x}_0)+dF(\mathbf{dx})=dF(\mathbf{dx})</math>
 
si <math>\mathbf{dx} \in \R^n</math> est assez petit.
 
La différentielle de <math>F</math> en <math>\mathbf{x}_0</math> est une fonction de <math>\R^n</math> dans <math>\R^n</math>, elle est donc aussi un flot. Mais c'est un flot en général plus facile à étudier que <math>F</math> parce qu'il est défini par une application '''linéaire''' de <math>\R^n</math> dans <math>\R^n</math>
 
Pour étudier les mouvements au voisinage d'un point d'équilibre on a intérêt à étudier le flot linéaire défini par la différentielle du flot initial en ce point, parce que cette différentielle est une bonne approximation du flot que l'on veut étudier.
 
=== Les mouvements sur une droite au voisinage d'un équilibre ===
 
=== Les oscillations harmoniques ===
 
=== Stabilité et instabilité des équilibres ===
 
== Les attracteurs ==