« Les suites et séries/Les séries de Riemann » : différence entre les versions

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Les sommes partielles, vues au chapitre précédent, se limitent à faire la somme des premiers termes d'une suite. Pour les suites finies, cela ne change pas grand chose : le résultat sera naturellement fini, quoiqu'il arrive, même si la suite est elle-même très longue. Mais avec les suites infinies, on peut pousser le concept de somme partielle à son paroxysme : on peu faire la somme de tous les termes de la suite, sans exception. La somme ainsi obtenue n'est pas une somme partielle, vu qu'elle additionne une quantité infinie de termes. A la place, on lui donne le nom de '''série'''. Cette définition de série est quelque peu imprécise, la définition formelle est la suivante : une série est la limite de la somme partielle quand le rang n tend vers l’infini : <math>\sum_{i=0}^{\infty} u_n</math>.
 
On pourrait croire que ces séries donnent toutes un résultat infini, sauf dans quelques exceptions triviales (suite dont tous les termes sont nuls) : additionner une infinité de termes non-nuls doit naturellement donner un résultat infini, nous dit l'intuition. Mais l’intuition se trompe : certaines séries ont un résultat fini. Les mathématiciens distinguent donc les séries dont le résultats est infini, appelées '''séries divergentes''', des autres au résultat fini qui portent le nom de '''séries convergentes'''. Comme exemple de série convergente, Euler a montré que la base des logarithmes népériens est le résultat de la série associée à la suite des inverses des factorielles :
 
: <math>e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + ...</math>
 
==Les séries de Riemann==
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:<math> \sum\limits_{ p,\, p + 2 \in \mathbb{P} } {\left( {\frac{1}{p} + \frac{1}{{p + 2}}} \right)} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{13}}} \right) + \cdots </math>
 
==La série des inverses des factorielles==
 
Euler a montré que la base des logarithmes népériens est le résultat de la série associée à la suite des inverses des factorielles :
 
: <math>e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + ...</math>
 
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