« Systèmes dynamiques et équations différentielles » : différence entre les versions

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Les dérivées partielles d'une fonction de <math>\R^n</math> dans <math>\R^p</math>
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\end{pmatrix}</math>
 
Les applications linéaires sont étudiées dans le cours d'algèbre linéaire. Elles ont été introduites ici parce que les différentielles d'une fonction de <math>\R^n</math> dans <math>\R^p</math> présentées dansun lapeu sectionplus suivanteloin, sont des applications linéaires de <math>\R^n</math> dans <math>\R^p</math>
 
=== Les dérivées partielles d'une fonction de <math>\R^n</math> dans <math>\R</math> ===
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pour <math>i</math> de <math>1</math> à <math>n</math>
 
<math></math><math></math><math></math><math></math><math></math><math></math><math></math><math></math><math></math><math></math>
 
=== Les différentielles d'une fonction de <math>\R^n</math> dans <math>\R^p</math> ===
 
* La différentielle <math>df</math> d'une fonction <math>f</math> de <math>\R</math> dans <math>\R</math> au point <math>x</math> est l'application linéaire de <math>\R</math> dans <math>\R</math> qui s'approche le plus de la variation de <math>f</math> au voisinage de <math>x</math>
 
: Pour tout <math>dx \in \R, df(dx)=f'(x)dx</math>
 
: Lorsque <math>dx</math> est assez petit <math>df(dx) \approx f(x+dx)-f(x)</math>
 
: Pour ne pas alourdir la notation, on ne précise pas que <math>df</math> dépend du point <math>x</math> où on dérive <math>f</math>
 
* La différentielle <math>df</math> d'une fonction <math>f</math> de <math>\R^2</math> dans <math>\R</math> au point <math>(x,y)</math> est l'application linéaire de <math>\R^2</math> dans <math>\R</math> qui s'approche le plus de la variation de <math>f</math> au voisinage de <math>(x,y)</math>
 
: Pour tous les <math>dx,dy \in \R, df(dx,dy)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)dx+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dy</math>
 
: Comme <math>df</math> dépend implicitement du point <math>(x,y)</math> où on dérive on note plus simplement :
 
: <math>df(dx,dy)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy</math>
 
: ou même :
 
: <math>df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy</math>
 
: Lorsque <math>dx</math> et <math>dy</math> sont assez petits <math>df(dx,dy) \approx f(x+dx,y+dy)-f(x,y)</math>
 
* La différentielle <math>df</math> d'une fonction <math>f</math> de <math>\R^n</math> dans <math>\R</math> au point <math>(x_1...x_n)</math> est l'application linéaire de <math>\R^n</math> dans <math>\R</math> qui s'approche le plus de la variation de <math>f</math> au voisinage de <math>(x_1...x_n)</math>
 
: Pour tous les <math>dx_1...dx_n \in \R, df(dx_1,...,dx_n)=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2+...+\frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n</math>
 
: Lorsque les <math>dx_i</math> sont assez petits <math>df(dx_1,...,dx_n) \approx f(x1+dx1,x_2+dx_2,...,x_n+dx_n)-f(x_1,x_2,...,x_n)</math>
 
* La différentielle <math>df</math> d'une fonction <math>f</math> de <math>\R^n</math> dans <math>\R^p</math> au point <math>\mathbf{x} \in \R^n</math> est l'application linéaire de <math>\R^n</math> dans <math>\R^p</math> qui s'approche le plus de la variation de <math>f</math> au voisinage de <math>\mathbf{x}</math>
 
: Soit <math>f</math> une fonction de <math>\R^n</math> dans <math>\R^p</math> définie par <math>f(\mathbf{x})=(f_1(\mathbf{x}),f_2(\mathbf{x}),...,f_p(\mathbf{x}))</math> où les <math>f_i</math> sont <math>p</math> fonctions de <math>\R^n</math> dans <math>\R</math>
 
: Alors
 
: <math>df(\mathbf{dx})=(df_1(\mathbf{dx}),df_2(\mathbf{dx}),...,df_p(\mathbf{dx}))</math>
 
<math></math><math></math><math></math><math></math>
 
== Les mouvements au voisinage d'un équilibre ==