« Systèmes dynamiques et équations différentielles » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Les dérivées partielles d'une fonction de <math>\R^n</math> dans <math>\R^p</math> |
|||
Ligne 257 :
Les applications linéaires sont étudiées dans le cours d'algèbre linéaire. Elles ont été introduites ici parce que les différentielles d'une fonction de <math>\R^n</math> dans <math>\R^p</math> présentées dans la section suivante, sont des applications linéaires de <math>\R^n</math> dans <math>\R^p</math>
=== Les dérivées partielles
Pour une fonction <math>f</math> de <math>\R</math> dans <math>\R</math> il y a une seule direction de variation pour la variable qui permet de mesurer la différence entre <math>f(x+dx)</math> et <math>f(x)</math>. En chaque point <math>x \in \R</math> il y a donc un seul nombre dérivé <math>f'(x)=\lim_{dx \to 0} \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}</math>
Pour une fonction <math>f</math> de <math>\R^2</math> dans <math>\R</math>, il y a deux directions de variations, une pour chaque variable. On peut calculer :
<math>f(x+dx,y)-f(x,y)</math>
et
<math>f(x,y+dy)-f(x,y)</math>
On peut donc calculer deux nombres dérivés, que l'on note <math>\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)</math> (lire "dé rond f sur dé rond x en x y") et <math>\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)</math>
<math>\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)= \lim_{dx \to 0} \frac{f(x+dx,y)-f(x,y)}{dx}</math>
<math>\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)= \lim_{dy \to 0} \frac{f(x,y+dy)-f(x,y)}{dy}</math>
On les appelle les dérivées partielles de <math>f</math> au point <math>(x,y)</math>
Pour une fonction <math>f</math> de <math>\R^n</math> dans <math>\R</math> on peut calculer <math>n</math> nombres dérivés, donc autant de dérivées partielles :
<math>\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1...x_n)= \lim_{dx_i \to 0} \frac{f(x_1...x_i+dx_i...x_n)-f(x_1...x_i...x_n)}{dx_i}</math>
pour <math>i</math> de <math>1</math> à <math>n</math>
<math></math><math></math><math></math><math></math><math></math><math></math><math></math><math></math><math></math><math></math>
=== Les différentielles d'une fonction de <math>\R^n</math> dans <math>\R^p</math> ===
== Les mouvements au voisinage d'un équilibre ==
| |||