« Systèmes dynamiques et équations différentielles » : différence entre les versions
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Ligne 63 :
: Par exemple, si <math>F(x)=x</math>, on obtient <math>x'(t)=x(t)</math> ou plus simplement <math>x'=x</math>
: C'est l'une des équations différentielles ordinaires les plus simples.
* Pour <math>n=2</math> le mouvement d'un système <math>S</math> est représenté par une fonction <math>f</math> de <math>\R</math> (le temps) dans <math>\R^2</math> (l'espace des états). Une telle fonction peut toujours être définie par deux fonctions <math>x_1</math> et <math>x_2</math> de <math>\R</math> dans <math>\R</math> : <math>f(t)=(x_1(t),x_2(t))</math>
Ligne 80 :
::: <math>x'_1(t)=x_2(t)</math>
::: <math>x'_2(t)=-
: ou plus simplement :
::: <math>x'_1=x_2</math>
::: <math>x'_2=-
: où <math>A</math> est une constante
:
* Dans le cas général, le mouvement d'un système <math>S</math> est décrit par une fonction de <math>\R</math> dans <math>\R^n</math> donc par <math>n</math> fonctions <math>x_1,x_2...x_n</math> de <math>\R</math> dans <math>\R</math>
Ligne 163 ⟶ 164 :
où <math>\mathbf{a_i}</math> est une fonction de <math>\R^{2nd}</math> dans <math>\R^d</math> qui détermine l'accélération du <math>i</math>-ème point matériel.
=== Et si la loi du mouvement varie ? ===
Pour que la loi du mouvement ne varie pas, il faut que le système soit isolé, ou qu'il soit placé dans des conditions extérieures constantes, ou qu'il ne soit pas affecté par les variations extérieures. Si l'environnement varie et s'il influence le système étudié, il n'y a pas de raison que la loi du mouvement soit constante.
Si le système et son environnement interagissent, il faut les considérer comme deux parties d'un système plus complet et étudier leur dynamique commune. Mais si l'environnement agit sur le système étudié sans être affecté par lui en retour, ses variations peuvent être connues d'avance. On est alors conduit à étudier une dynamique dépendante du temps, c'est à dire dépendante des variations prévues de l'environnement. Dans ce cas, la loi du mouvement est définie avec une fonction <math>F</math> de <math>\R^{n+1}</math> dans <math>\R^n</math>
<math>\mathbf{x'}=F(\mathbf{x},t)</math>
où <math>t</math> représente le temps.
Une dynamique dépendante du temps peut toujours être redéfinie comme une dynamique indépendante du temps. Il suffit d'agrandir l'espace des états <math>\R^n</math> en ajoutant une nouvelle variable <math>x_{n+1}</math> pour laquelle on impose <math>x'_{n+1}(t)=1</math> quel que soit <math>t</math>
La fonction <math>G</math> de <math>\R^{n+1}</math> dans <math>\R^{n+1}</math> définie par
<math>G(x_1...x_n,x_{n+1})=(F(x_1...x_n,x_{n+1}),1)</math>
représente la même dynamique que <math>F</math> mais elle est indépendante du temps. La nouvelle variable <math>x_{n+1}</math> mesure le passage du temps. Elle sert à incorporer la mesure du temps à l'intérieur du système.
=== Déterminisme et lois de causalité ===
Ligne 202 ⟶ 221 :
Un flot <math>F</math> dans <math>\R^n</math> détermine un système dynamique : son espace des états est <math>\R^n</math> et sa loi du mouvement est <math>\mathbf{x'}=F(\mathbf{x})</math>
Les lignes de courant d'un écoulement sont des lignes partout tangentes à la vitesse du fluide à un instant donné. Elles sont aussi les trajectoires des particules de fluide lorsque l'écoulement est stationnaire, c'est à dire lorsque le champ des vitesses ne varie pas.
Une trajectoire d'un système dynamique dans son espace d'états est partout tangente à son vecteur vitesse. Elle est donc une ligne de courant du flot qui représente la dynamique du système.
Une trajectoire paramétrée par le temps d'une particule de fluide entraînée par le flot est également une trajectoire paramétrée par le temps du système dans son espace d'états.
=== Les applications linéaires de <math>\R^n</math> dans <math>\R^p</math> ===
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