« Les suites et séries/Les séries de Riemann » : différence entre les versions

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: <math>e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + ...</math>
 
Les mathématiciens ont trouvé divers critères qui permettent de dire si une série diverge ou non. Un de ces critères permet de comprendre pourquoi certaines séries convergent alors que d'autres non. Il s'agit simplement de la limite de la suite : les suites qui convergent ont toutes une limite qui tend vers 0 avec le rang. Ce qui explique pourquoi ces suites convergent : ces termes devenant de plus en plus petits avec le rang, leur addition tend à ne plus vraiment augmenter le résultat de la somme partielle. La somme partielle grandit alors très peu, avant de se "stabiliser" tellement les termes ajoutés sont négligeables au-delà d'un certain rang. Ainsi, on sait qu’une suite dont le terme général ne tend pas vers 0 quand le rang tend vers l’infini a une série qui diverge. Mais attention : le fait qu'une suite tende vers 0 ne signifie pas que celle-ci est forcèment convergente : certaines suites font exception. L'exemple type est de loin celui de la suite harmonique (celle de l'inverse des entiers) : sa série est divergente.
 
: <math>1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... = \infty</math>
 
[[File:GeometricCircles.png|centre|vignette|upright=2.0|Exemple d'une suite dont les membres tendent vers zéro. Il s'agit d'une suite géométrique de raison 2/3 et de premier terme 1. On voit sur le schéma que les termes de la suite diminuent progressivement, tout en restant positifs.]]
 
==Les séries de Riemann==