« Les suites et séries/Les séries de Riemann » : différence entre les versions

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Cette série est équivalente à une série constante, quand on additionne tous ses termes : elle diverge ! Donc la série harmonique, dont tout les termes sont plus grands que la série précédente, diverge aussi. CQFD !}}
 
===La série harmonique alternée===
 
Rappelons qu'il existe une variante de la suite harmonique où les signes sont inversés d'un terme à l'autre : on obtient alors la '''suite harmonique alternée'''. La série de cette suite est la suivante :
 
: <math>S_h = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{-1^{n+1}}{n^1} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ...</math>
 
Il se trouve que cette série a pour résultat le logarithme naturel de 2 !
 
: <math>S_h = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{-1^{n+1}}{n^1} = \ln 2</math>
 
===La série de Leibniz===