« Les suites et séries/Les séries de Riemann » : différence entre les versions
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====La constante de Meissel–Mertens====
Il est intéressant de comparer la somme partielle de l'inverse des premiers à d'autres fonctions/suites. Le fait que la suite de l'inverse des entier soit une sorte de variante de la suite harmonique nous est utile pour choisir à quelle suite la comparer. On a vu plus haut que la différence entre la série harmonique et la série de la suite <math>u_n = \ln (\ln n)</math> est une constante, appelée constante d'Euler-Mascheroni. Et bien on peut comparer la suite de l'inverse des premiers avec la suite <math>u_n = \ln (\ln n)</math>, mais dont on n'aurait conservé que les termes premiers. Et le résultat est plus ou moins le même avec seulement les premiers qu'avec tous les entiers : la différence converge vers une constante. Mais dans le cas avec seulement les termes premiers, la constante est différente de la constante d'Euler-Mascheroni. Pour résumer, la série de l'inverse des premiers et la série du double logarithme ne différent que d'une constante, appelée '''constante de Meissel–Mertens'''.▼
[[File:Meissel–Mertens_constant_definition.svg|vignette|Constante de Meissel–Mertens.]]
▲Il est intéressant de comparer la somme partielle de l'inverse des premiers à d'autres fonctions/suites. Le fait que la suite de l'inverse des entier soit une sorte de variante de la suite harmonique nous est utile pour choisir à quelle suite la comparer. On a vu plus haut que la différence entre la série harmonique et la série de la suite <math>u_n = \ln (\ln n)</math> est une constante, appelée constante d'Euler-Mascheroni. Et bien on peut comparer la suite de l'inverse des premiers avec la suite <math>u_n = \ln (\ln n)</math>, mais dont on n'aurait conservé que les termes premiers. Et le résultat est plus ou moins le même avec seulement les premiers qu'avec tous les entiers : la différence converge vers une constante. Mais dans le cas avec seulement les termes premiers, la constante est différente de la constante d'Euler-Mascheroni. Pour résumer, la série de l'inverse des premiers et la série du double logarithme ne différent que d'une constante, appelée '''constante de Meissel–Mertens'''. Cette constante a pour définition la formule suivante, avec <math>\gamma</math> la constante d'Euler-Mascheroni :
: <math>M = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{p \leq n} \frac{1}{p} - \ln(\ln n) \right) = \gamma + \sum_{p} \left[ \ln\! \left( 1 - \frac{1}{p} \right) + \frac{1}{p} \right]</math>
Sa valeur approchée est la suivante :
: <math>M \approx 0.26149/72128/47642/78375/54268/38608/69585/90516/ \cdots</math>
===La série de l'inverse des nombres premiers jumeaux===
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