« Les suites et séries/Les séries de Riemann » : différence entre les versions
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[[File:Sum of reciprocals of primes.svg|vignette|Comparaison entre la somme de l'inverse des nombres premiers et une autre fonction divergente.]]
La '''série de l'inverse des nombres premiers''' est de loin la plus simple à étudier. Cette série n'est autre qu'une variante de la suite harmonique, dans laquelle on n'aurait conservé que les termes au dénominateur premier. Et il se trouve que cette série diverge !
: <math>\sum_{p\text{ prime}} \
====Preuve de la divergence====
Un bon moyen de le prouver est de comparer cette série à une autre série, dont tous les termes sont inférieurs à la série des nombres premiers, qui est de plus connue pour diverger. Cette seconde série est la suivante :
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Vu que la seconde suite a une série qui diverge, celle des nombres premiers aussi.
====La constante de Meissel–Mertens====
Il est intéressant de comparer la somme partielle de l'inverse des premiers à d'autres fonctions/suites. Il se trouve qu'elle est relativement proche de la somme partielle de la suite <math>u_n = \ln (\ln n)</math>. Mieux : plus le rang augmente, plus la différence entre les deux sommes partielles tend vers une constante. En clair, la série de l'inverse des premiers et la série du double logarithme ne différent que d'une constante, appelée '''constante de Meissel–Mertens'''.
[[File:Meissel–Mertens_constant_definition.svg|vignette|Constante de Meissel–Mertens.]]
===La série de l'inverse des nombres premiers jumeaux===
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