« Les suites et séries/Les séries de Riemann » : différence entre les versions
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===La série de l'inverse des nombres premiers===
[[File:Sum of reciprocals of primes.svg|vignette|Comparaison entre la somme de l'inverse des nombres premiers et une autre fonction divergente.]]
La série de l'inverse des nombres premiers est de loin la plus simple à étudier. Et il se trouve que cette série diverge !
: <math>\sum_{p\text{ prime}}\frac1p = \frac12 + \frac13 + \frac15 + \frac17 + \frac1{11} + \frac1{13} + \frac1{17} + \cdots = \infty</math>
Un bon moyen de le prouver est de comparer cette série à une autre série, dont tous les termes sont inférieurs à la série des nombres premiers, qui est de plus connue pour diverger. Cette seconde série est la suivante :
: <math>\sum \ln \ln (n+1) - \ln \frac{\pi^2}{6}</math>
On sait que chaque terme de la suite de l'inverse des nombres premiers est supérieur au terme de même rang de l'autre suite :
: <math>\sum_{\scriptstyle p\text{ prime}\atop \scriptstyle p \le n}\frac{1}{p} \ge \ln \ln (n+1) - \ln \frac{\pi^2}{6}</math>
Vu que la seconde suite a une série qui diverge, celle des nombres premiers aussi.
===La série de l'inverse des nombres premiers jumeaux===
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