« Les suites et séries/Les séries de Riemann » : différence entre les versions

 

==Les séries géométriques==

 

Les séries géométriques sont simplement des séries qui additionnent tous les termes d'une suite géométrique. Toutes ne convergent pas, la plupart divergeant franchement ! Par exemple, la suite géométrique de raison 10 et de premier terme 1 va naturellement diverger, vu que ses termes n'ont de cesse d'augmenter avec le rang. Dans les grandes lignes, il n'y a qu'un seul moyen pour que les termes tendent vers zéro avec le rang : la raison doit être comprise entre -1 et 1. Si c'est le cas, chaque terme sera plus petit (en valeur absolue) que le précédent : les termes diminuant de plus en plus, ils tendent bien vers zéro. Il se trouve que dans ce cas, la série va alors converger. Par contre, une raison de valeur absolue supérieure ou égale à 1 fait diverger la série. Si la raison est égale à 1, la suite est une suite constante, qui va naturellement diverger. Une raison supérieure à 1 va faire que les terme augmentent avec le rang, rendant la série divergente.

 

[[File:Geometric series triangle.svg|vignette|Preuve visuelle du résultat de la série de l'inverse des puissances de trois.]]

 

On peut étudier les cas de l'inverse des puissances de trois, de cinq, de six, et de bien d'autres. Voici ce que l'on obtient pour les premiers entiers naturels :