« Les suites et séries/Les séries de Riemann » : différence entre les versions
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Ligne 82 :
: <math>\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}</math>
===Les séries de Riemann à exposants pairs===
Prenons les séries de Riemann dont l'exposant est un nombre pair. En clair, les suites de la forme :
: <math>\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2p}}</math>
Il se trouve que toutes ces séries ont un résultat de la forme suivante avec <math>a</math> un nombre rationnel (fractionnaire) :
: <math>\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2p}} = a \times \pi^{2 p}</math>
Par exemple, on a :
: <math>\sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{2}} = \frac{\pi^2}{6}</math>
: <math>\sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{4}} = \frac{\pi^4}{90}</math>
: <math>\sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{6}} = \frac{\pi^6}{945}</math>
: <math>\sum_{n=1}^{+\infty}{1 \over n^{8}} = \frac{\pi^8}{9450}</math>
===La série de l'inverse des cubes===
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