« Calcul différentiel et intégral pour débutants » : différence entre les versions
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Pour étudier les systèmes de nombres réels, on se sert toujours, ou presque toujours, du calcul des fonctions dérivées et des intégrales. Le calcul différentiel et intégral est le principal outil de l'analyse, à tel point qu'on peut dire qu'il est l'analyse.
'''Résumé''' :
Le premier chapitre présente les principaux concepts nécessaires pour aborder l'analyse : la droite <math>\R</math> des nombres réels, les fonctions de <math>\R</math> dans <math>\R</math> et la pente d'une droite.
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==== Exercices ====
* Calculer les valeurs de <math>f</math> définie par <math>f(x)=x^2=x*x</math> pour <math>x=-2, -1 , 0, 0.5, 1, 2, 3</math> et <math>4</math> et représenter graphiquement <math>f</math> sur du papier quadrillé.
* Calculer la pente de la droite qui relie les points <math>(1,f(1))</math> et <math>(2,f(2))</math>
[[Calcul différentiel et intégral pour débutants/Préliminaires : solutions des exercices|Solutions]]
=== La fonction dérivée d'une fonction de <math>\R</math> dans <math>\R</math> ===
Ligne 191 ⟶ 194 :
:Trouver alors les extremums de <math>h</math>
:Vérifier les résultats avec la représentation graphique de <math>h</math>
[[Calcul différentiel et intégral pour débutants/La fonction dérivée d'une fonction : solutions des exercices|Solutions]]
=== La continuité et la limite d'une fonction en un point ===
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* Soit <math>f</math> la fonction définie par <math>f(x)=x/x=1</math> pour tout <math>x \neq 0</math>. Montrons qu'elle tend vers <math>1</math> quand <math>x</math> tend vers <math>0</math>. <math>|f(x)-1|=0<\epsilon</math> pour tout <math>x \neq 0</math> et tout <math>\epsilon>0</math>. N'importe quel nombre <math>\delta>0</math> est donc tel que <math>|x|<\delta</math> entraîne <math>|f(x)-1|<\epsilon</math>.
=== Règles élémentaires pour le calcul des dérivées ===
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* Trouver les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
<math>f_1(x)=0, f_2(x)=5, f_3(x)=x, f_4(x)=2x, f_5(x)=3x-5, f_6(x)=x^2,>f_7(x)=-4x^2, f_7(x)=-4x^2,</math>
<math>
* Vérifier que la règle de la dérivée d'un produit par une constante <math>(Af)'=Af'</math> est un cas particulier de la règle du produit des dérivées <math>(fg)'=f'g+fg'</math>
* On veut prouver que <math>(x^n)'=nx^{n-1}</math> pour tout entier <math>n \ge 1</math>
Ligne 314 ⟶ 323 :
::Il faut pour cela se servir de la règle pour la dérivée d'un produit.
:Ces deux conditions suffisent pour conclure que la formule est vraie pour tout entier <math>n \ge 1</math> : d'après la première condition la formule est vraie pour <math>n=1</math>, d'après la seconde condition elle est donc vraie pour <math>n=2</math>, mais encore d'après cette même condition elle est alors vraie pour <math>n=3</math> et ainsi de suite, à l'infini. On appelle une telle preuve un raisonnement par récurrence.
[[Calcul différentiel et intégral pour débutants/Calcul des dérivées : solutions des exercices|Solutions]]
=== La vitesse est la dérivée de la position ===
Ligne 352 ⟶ 364 :
Le vecteur vitesse instantanée est donc toujours la dérivée du vecteur position.
Ligne 416 ⟶ 426 :
==== Exercices ====
* <math>A</math> est une constante. Calculer les dérivées des fonctions suivantes : <math>f(x)=Ax, g(x)=Ax^2/2, h(x)=Ax^3/3</math>
* Calculer <math>\int_0^b Adx</math>. Vérifier que l'on retrouve l'aire d'un rectangle.
* Calculer <math>\int_0^b Axdx</math>. Pour <math>A=1</math>, vérifier que l'on retrouve l'aire d'un demi-carré.
* Calculer <math>\int_0^b Ax^2dx</math>
[[Calcul différentiel et intégral pour débutants/Calcul intégral : solutions des exercices|Solutions]]
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On prouve ainsi la loi de Galilée : ''la distance parcourue en chute libre est proportionnelle au carré du temps écoulé.''
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[[Calcul différentiel et intégral pour débutants/Chute libre : solutions des exercices|Solutions]]
=== [[Calcul différentiel et intégral pour débutants/Preuves des règles de dérivation|Annexe : preuves des règles de dérivation]] ===
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