« Calcul différentiel et intégral pour débutants » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
Exercices
Ligne 120 :
 
==== Exercices ====
 
* Calculer les valeurs de <math>f</math> définie par <math>f(x)=x^2=x*x</math> pour <math>x=-2, -1 , 0, 1, 2, 3</math> et <math>4</math> et représenter graphiquement <math>f</math> sur du papier quadrillé.
 
* Calculer la pente de la droite qui relie les points <math>(1,f(1))</math> et <math>(2,f(2))</math>
 
=== La fonction dérivée d'une fonction de <math>\R</math> dans <math>\R</math> ===
Ligne 169 ⟶ 173 :
Si on connaît la fonction dérivée <math>f'</math> d'une fonction <math>f</math>, il suffit d'étudier le signe, positif ou négatif, de <math>f'</math> pour connaître le sens de variation de <math>f</math>. Cette règle est souvent très utile. Elle permet en particulier de trouver les sommets (les maximums) et les creux (les minimums) de la représentation graphique d'une fonction, parce qu'au voisinage d'un sommet, la fonction est d'abord croissante puis décroissante, tandis qu'au voisinage d'un creux, elle est d'abord décroissante puis croissante. Les extremums sont donc des points où <math>f'(x)</math> change de signe.
 
==== Exercices ====
 
* Calculer les valeurs de <math>f</math> définie par <math>f(x)=x^2=x \times x</math> pour <math>x=1, 1.1, 1.5</math> et <math>2</math>
 
* Calculer le taux de variation de <math>f</math> entre <math>x=1</math> et <math>x=2</math>, puis entre <math>x=1</math> et <math>x=1.5</math>, et enfin entre <math>x=1</math> et <math>x=1.1</math>
 
* Avec les règles du calcul différentiel, présentées au chapitre 4, on peut prouver que la dérivée de <math>g</math> définie par <math>g(x)=-x^2+2x</math> est <math>g'(x)=-2x+2</math>. Étudier le signe de <math>g'</math> et trouver alors l'extremum de <math>g</math>. Est-ce un maximum ou un minimum ?
 
* La dérivée de <math>h(x)=x^3-9x</math> (<math>h</math> a été représentée graphiquement un peu plus haut) est <math>h'(x)=3x^2-9=3(x^2-3)</math>. Étudier le signe de <math>h'</math> (il faut se souvenir de l'identité remarquable : <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2)</math>). Trouver alors les extremums de <math>h</math>. Vérifier les résultats avec la représentation graphique de <math>h</math>