« Calcul différentiel et intégral pour débutants » : différence entre les versions
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Ligne 368 :
=== La chute des corps et les lois de Galilée et Newton ===
==== Comment trouver la position si on connaît la vitesse ? ====
Soit un mobile contraint de se déplacer sur une droite. On suppose qu'on connaît sa vitesse <math>v(t)</math> à tous les instants <math>t</math> et sa position initiale <math>x(0)</math> à l'instant <math>0</math>. Cela suffit pour calculer sa position <math>x(t)</math> à tous les instants :
A partir de <math>x(0)</math> et <math>v(0)</math> on calcule <math>x(dt) \approx x(0)+v(0)dt</math>
A partir de <math>x(dt)</math> et <math>v(dt)</math> on calcule <math>x(2dt) \approx x(dt)+v(dt)dt</math>
Plus généralement, à partir de <math>x(n dt)</math> et <math>v(n dt)</math> on calcule <math>x((n+1)dt) \approx x(n dt)+v(n dt)dt</math>
Plus <math>dt</math> est petit, meilleure est l'approximation.
Le théorème fondamental de l'analyse montre que <math>x(t)=x(0)+\int_0^t v(t)dt</math> puisque <math>v=x'</math>
Le calcul précédent conduit à trouver une valeur approchée de <math>\int_0^t v(t)dt</math>
Si on connaît <math>v(t)</math> par une formule analytique et si on connaît une de ses primitives, le théorème fondamental de l'analyse suffit pour trouver <math>x(t)</math> à tous les instants <math>t</math>
==== L'accélération est la dérivée de la vitesse ====
==== La chute libre à la surface de la Terre ====
==== La force est la masse multipliée par l'accélération ====
==== La loi de la gravitation universelle ====
==== Exercices ====
=== Annexes ===
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