« Approfondissements de lycée/Démonstrations » : différence entre les versions

DTout d'abord, supposons que <math>\sqrt{2}</math> est ''rationnel'' :<br>

Nous avons maintenant trouvé que ''a²'' est un certain entier multiplié par 2. Par conséquent, ''a²'' doit être divisible par 2.; Siautrement ''a²'' est pairdit, alorsil ''a'' doit être aussiest pair,. pourComme un nombre impair aule carré, d'un nombre impair. Maintenantest quelui-même nous savons queimpair, ''a'' estdoit être pair, nouslui aussi. Nous pouvons maintenant écrivonsécrire que ''a = 2c'', où ''c'' est un autre entier.

Nous avons découvert que ''b²'' est aussi un entier multiplié par 2. En suivant le raisonnement précédent, ''b'' doit être un entier pair. Ici, nous avons une contradiction.: Lesles deux nombres entiers ''a'' et ''b'' sont pairpairs. En d'autres termes, lesnous venons de démontrer que ces deux nombres ont un facteur commun: 2. Mais nous avons déjà ditsupposé que ces deux nombres n''a/b''avaient estpas sousde formefacteur irréductible.commun! Puisqu'une telle contradiction a été établie, nous '''devons''' conclure que notre supposition d'origine était fausse. Par conséquent, on ne peut trouver deux entiers ''a'' et ''b'' premiers entre eux tels qu'on puisse écrire <math>\sqrt{2}</math> sour la forme ''a/b'', c'est-à-dire que <math>\sqrt{2}</math> est irrationel.