« Approfondissements de lycée/Démonstrations » : différence entre les versions

m
 
'''Solution'''
D'abord, nous montrons qu'elle est valable pour les entiers 1, 2 et 3:
:<math>1 = 2 \times \frac{1}{2}\,</math>
:<math>1 + 2 = 3 \times \frac{2}{2}\,</math>
:<math>1 + 2 + 3 = 4 \times \frac{3}{2} = 6\,</math>
Supposons que l'identité reste valable pour un certain nombre ''k'' strictement positif, alors
:<math>1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{1}{2}(k + 1)k}{2} </math>
est vrai.
 
Nous devons montrer que :
:<math>1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{1}{2}(k + 2)(k + 1)}{2} </math>
est vrai également.
 
C'est à dire :
Or, nous avons supposé :
:<math>
\begin{matrix}
1 + 2 + 3 + ... + k & & =& \frac{1}{2}(k + 1)k\\
\end{matrix}
\\
</math>
Donc nous pouvons déduire :
:<math>
\begin{matrix}
1 + 2 + 3 + ... + k &+ (k + 1) &=& \frac{1}{2}(k + 1)k + (k + 1)\\
\\
\end{matrix}
</math>
qui est ce que nous devions montrer. Nous savons donc que, si la formule est vraie pour un entier ''k'' strictement positif, elle est alors valable pour ''k + 1''. Puisque l'identité reste valable pour 3, on peut maintenant conclure qu'elle est aussi valable pour 4 et, puisqu'elle est valable pour 4, elle reste valable pour 5, et 6 et, 7 et ainsi de suite.
 
Il existe deux types d'inductions mathématiques : la forte et la faible. En induction faible, vous supposez que l'identité reste valable pour une certaine valeur k, et vous la démontrez pour k+1. En induction forte, l'identité doit être vraie pour toute valeur inférieure ou égale à k, et vous la démontrez pour k+1.
 
'''Solution'''
LTout d'abord, montrons que l'énoncé est vrai pour n = 4. CommeNous avons 4! >= 4*3*2 = 24, et 2<sup>4</sup>, i.e= 16. Comme 24 > 16, nous savons alors que 4! est supérieur à 2<sup>4</sup>, et donc que l'énoncé est vrai quand n vaut 4.
 
Maintenant, supposons qu'il est vrai pour nune =valeur k, ksupérieure &ge;ou 4,égale i.eà 4. Nous avons alors
:k! > 2<sup>k</sup>
ilIl en découle que
:(k + 1)*k! > (k+1)*2<sup>k</sup> > 2<sup>k+1</sup>
Comme ''k'' est supérieur à 1, on sait que ''k + 1'' est supérieur à 2, et donc
:(k+1)! > 2<sup>k+1</sup>
: (k + 1)*2<sup>k</sup> > 2<sup>k + 1</sup>
Nous avons montré que si n = k alors, il est vrai aussi pour n = k + 1. Puisqu'il est vrai pour n = 4, il est vrai pour n = 5, 6, 7, 8 et ainsi de suite pour tous les n.
Par transivité, on a donc:
:(k + 1)*k! > 2<sup>k + 1</sup>
Doù, finalement:
:(k + 1)! > 2<sup>k + 1</sup>
Nous avons donc montré que, si n = k alors, il est vrai aussi pour n = k + 1. Puisqu'il est vrai pour n = 4, il est alors vrai pour n = 5, 6, 7, 8 et ainsi de suite pour tous les entiers n supérieurs ou égaux à 4.
 
'''Exemple 3'''
 
'''Solution'''
SupposonsOn commence par vérifier que celala formule est vraivraie pour n = k1, i.ece qui est évident.
 
Supposons maintenant que cela est vrai pour n = k, i.e.
:<math>1^3 + 2^3 + ...+ k^3 = \frac {(k+1)^2k^2}{4} </math>
 
ilIl en découle que
:<math>
\begin{matrix}
\end{matrix}
</math>
Nous avons montré que s'il est vrai pour n = k alors il est vrai aussi pour n = k + 1. Maintenant,Comme il est vrai pour n = 1 (évident), par conséquent, il est vrai pour tous les entiers positifs.
 
=== Exercices ===
1. Démontrer que <math>1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{ n(2n^2 + 3n +1)}{6} </math>
 
2. Démontrer que, pour tout n &ge; 1, on peut exprimer <math> (1 + \sqrt{5})^n</math> sous la forme
:<math> (1 + \sqrt{5})^n = x_n + y_n\sqrt{5}</math>
où x<sub>n</sub> et y<sub>n</sub> sont des entiers.
212

modifications