« Tribologie/Contacts localisés » : différence entre les versions

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Avoir 3 € en poche est mieux que devoir 1 € au collègue qui vous a payé deux fois le café à la pause, et devoir 1 € à son collègue est grandement préférable à en devoir 10 000 à son banquier ! On a beau être persuadé que tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif et qu'entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue, le piège est tellement grossier qu'il est très facile d'y tomber. Ici la section la plus courbe est celle qui passe par la ligne des crêtes mais c'est pourtant là, pour cause de concavité, que la courbure est la plus petite.
 
Nous aurons donc, par exemple, R' = 40 mm et R" = <bigstrong>'''-'''</bigstrong> 10 mm,
 
ce qui nous donnera immédiatement C' = 0,025 mm<sup>-1</sup> et C" = <bigstrong>'''-'''</bigstrong> 0,1 mm<sup>-1</sup>.
 
 
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Raisonnons sur trois points M<sub>1</sub>, M<sub>2</sub> et M appartenant respectivement aux trois surfaces (S<sub>1</sub>), (S<sub>2</sub>) et (S) et situés sur une même droite perpendiculaire en H au plan tangent (T).
 
H étant toujours très proche de I, les angles <bigstrong>α<sub>1</sub></bigstrong>, <bigstrong>α<sub>2</sub></bigstrong> et <bigstrong>α</bigstrong> sont tous les trois très petits, on peut écrire :
 
<math>IH \approx \alpha R \approx \alpha_1 R_1 \approx \alpha_2 R_2 \quad \to \quad \alpha_1 \approx \frac{\alpha R}{R_1} \quad et \quad \alpha_2 \approx \frac{\alpha R}{R_2}</math>
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En remplaçant les angles <bigstrong>α<sub>1</sub></bigstrong> et <bigstrong>α<sub>2</sub></bigstrong> par leur valeur, on obtient :
 
<math>R \frac{\alpha^2}{2} = \frac{R_1}{2} \frac{\alpha^2 R^2}{R_1^2} + \frac{R_2}{2} \frac{\alpha^2 R^2}{R_2^2} </math>
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| Δ<sub>2</sub> = C'<sub>2</sub> - C"<sub>2</sub> = 0,1 - 0 = 0,1 mm<sup>-1</sup>
|-
|colspan="2" align="center"|'''<bigstrong>φ</bigstrong>''' est l'angle '''aigu''' qui va de (P"<sub>1</sub>) à (P"<sub>2</sub>) et définit l'orientation du plan tangent
|-
|}
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Dans un plan de section quelconque (P) passant par la normale commune aux deux surfaces au point I, on peut calculer les deux courbures des surfaces (S<sub>1</sub>) et (S<sub>2</sub>), puis les additionner pour trouver la courbure correspondante de la surface fictive (S) en contact avec le plan tangent. Le calcul pourrait ressembler à :
 
<big><bigspan style="font-size:20px;"><math> C_1 = C'_1 \cos^{2} \theta_1 + C''_1 \sin^{2} \theta_1 </math></big></bigspan>
 
et
 
<big><bigspan style="font-size:20px;"><math> C_2 = C'_2 \cos^{2} \theta_2 + C''_2 \sin^{2} \theta_2 </math></big></bigspan>
 
puis <big><bigspan style="font-size:20px;"><math> C = C_1 + C_2</math></big></bigspan>
 
mais ... ce n'est pas la bonne solution !
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* le trièdre sera orthonormé direct.
 
Le plan (P) sera repéré par l'angle '''aigu''' <bigstrong>θ</bigstrong> qu'il forme avec l'axe Iv. De cette façon, nous pouvons écrire :
 
<bigstrong>θ<sub>1</sub> = θ + φ/2</bigstrong> et <bigstrong>θ<sub>2</sub> = θ - φ/2</bigstrong>
 
 
Les formules d'Euler acquièrent alors une certaine symétrie :
 
<big><bigspan style="font-size:20px;"><math> C_1 = C'_1 \cos^{2} (\theta + \phi/2) + C''_1 \sin^{2} (\theta + \phi/2) </math></big></bigspan>
 
et
 
<big><bigspan style="font-size:20px;"><math> C_2 = C'_2 \cos^{2} (\theta - \phi/2) + C''_2 \sin^{2} (\theta - \phi/2) </math></big></bigspan>
 
 
Pour rester poli, nous qualifierons le calcul qui suit normalement par un terme anglais, « boring ». Il ne présente pas de difficulté importante mais il ne faut pas se tromper dans les signes !
 
* on additionne C<sub>1</sub> et C<sub>2</sub>, on développe tout le matériel en révisant au passage ses formules de trigonométrie, on regroupe tout ce qui se ressemble plus ou moins et l'on obtient finalement l'expression de la courbure C de la surface fictive en fonction de l'angle <bigstrong>θ</bigstrong>,
* on dérive C par rapport à <bigstrong>θ</bigstrong>,
* on annule cette dérivée pour trouver l'orientation des plans (P') et (P") qui contiennent respectivement la plus grande et la plus petite des deux courbures principales de la surface fictive,
* on reporte les valeurs trouvées dans l'expression de C pour trouver les valeurs des courbures principales.
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{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
|<big><bigspan style="font-size:20px;"><math>\Sigma = C' + C'' = C'_1 + C''_1 + C'_2 + C''_2 = \Sigma_1 + \Sigma_2 \quad (4)</math></big></bigspan>
|-
|}
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Dans notre exemple, nous avons :
 
<big><bigspan style="font-size:20px;"><math>\Sigma = C' + C'' = \Sigma_1 + \Sigma_2 = 0,1667 + 0,1 = 0,2667 \,mm^{-1}</math></big></bigspan>
 
<big><bigspan style="font-size:20px;"><math>\phi = 65^o</math></big></bigspan>
 
<math>\Delta = C' - C'' = \sqrt{\Delta_1^2 + \Delta_2^2 + 2 \Delta_1 \Delta_2 \cos 2 \phi} </math>
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La surface fictive pourrait peu ou prou ressembler à une petite olive (ce n'est pas la seule représentation possible) dont l'équateur aurait pour rayon de courbure R' = 4,42 mm et le méridien 24,66 mm en I.
 
Si cette « olive » est pressée sur un plan, elle y laissera une trace plus ou moins elliptique orientée selon la direction du plan de plus petite courbure. Il nous reste une petite cérémonie à accomplir, trouver l'orientation des axes définitifs qui nous serviront pour la suite du problème. Cette orientation est donnée par un angle <bigstrong>α</bigstrong> tel que :
 
 
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Cette fois nous pouvons mettre en place les axes Ix et Iy qui vont nous servir par la suite. L'ellipse dont le grand diamètre est porté par l'axe Ix symbolise la future zone de contact qui va s'établir lorsqu'une charge normale sera appliquée.
 
Le signe de l'angle <bigstrong>α</bigstrong> ne doit évidemment pas être négligé car c'est lui qui nous permet d'orienter convenablement l'axe Ix par rapport au sens de l'angle <bigstrong>φ</bigstrong>. Naturellement, si on intervertit les indices 1 et 2 qui désignent les pièces, ce signe change mais le sens de l'angle aussi et le résultat final est conservé.
 
 
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<bigstrong>'''Fin provisoire de l'article'''</bigstrong>
 
 
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<bigstrong>'''Formulaire des contacts ponctuels'''</bigstrong>
 
* <math> C = C' \cos^{2} \theta + C'' \sin^{2} \theta = \frac{C'+C''}{2} + \frac{C'-C''}{2} \cos 2 \theta \quad (1)</math>