« Propriétés métriques des droites et plans » : différence entre les versions
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Ligne 8 :
Soit <math>\mathrm{M}(x,y)</math> un point de la droite (D) dont une équation dans un repère orthonormal est donnée par :
<div style="text-align: center;"><math>(1) \qquad ux + vy + h = 0\,</math></
et <math>\mathrm{M}_0(x_0,y_0)</math> un point spécifique de (D), On a :
<div style="text-align: center;"><math>(2) \qquad ux_0 + vy_0 + h = 0\,</math></
En retranchant (2) à (1) on obtient :
<div style="text-align: center;"><math>u(x-x_0) + v(y-y_0)= 0\,</math></
En notant <math>\vec{\mathrm{N}}</math>, le vecteur de coordonnées (''u, v''), on exprime (1) comme suit :
<div style="text-align: center;"><math>\vec{\mathrm{N}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{M_0M}}=0</math></
La droite d'équation <math>ux + vy + h = 0</math> est donc orthogonale au vecteur <math>\vec{\mathrm{N}}</math>. Le vecteur <math>\vec{\mathrm{N}}</math> est appelé un vecteur normal à la droite (D).
Ligne 27 :
Soit un point <math>\mathrm{M}(x,y)</math> et un vecteur <math>\vec{\mathrm{N}}\begin{pmatrix}u \\ v \end{pmatrix}</math> non nul. Le point M appartient à la droite (D), passant par <math>\mathrm{M}_0(x_0,y_0)</math> et orthogonale à <math>\vec{\mathrm{N}}</math>, si et seulement si :
<div style="text-align: center;"> <math>\vec{\mathrm{N}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{M_0M}}=0</math></
La droite (D), passant par <math>\mathrm{M}_0(x_0,y_0)</math> et orthogonale à <math>\vec{\mathrm{N}}</math>, a donc pour équation :
<div style="text-align: center;"><math>u(x-x_0) + v(y-y_0)= 0\,</math></
=== Distance algébrique d'un point M(''x'', ''y'') à une droite d'équation ''ux'' + ''vy'' + ''h'' = 0 ===
Ligne 38 :
La droite perpendiculaire à (D) et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur <math>\vec{\mathrm{N}}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}</math>, on montre que la distance algébrique entre M et (D) est donnée par :
: <div style="text-align: center;"><math>d_a(\mathrm{H}, \mathrm{M}) = \frac{ux+vy+h}\sqrt{u^2 + v^2}</math></
En valeur absolue:
: <div style="text-align: center;"><math>\|\overrightarrow{\mathrm{HM}}\| = \frac{|ux+vy+h|}\sqrt{u^2 + v^2}</math>.</
=== Droite et pente ===
Ligne 49 :
:<math>b= -\frac{h}{v}</math>
La pente d'une droite est le réel
:<div style="text-align: center;"><math>m = \tan(\alpha)\,</math>
L'angle α représente l'angle entre l'axe des abscisses et la droite (D).
Ligne 58 :
L'équation (1) s'écrit :
<div style="text-align: center;"><math>x \cos \varphi + y \sin \varphi - p = 0</math></
=== Angles de deux droites ===
Ligne 64 :
Soit (D) et (D') deux droites d'équations
<div style="text-align: center;"><math>(\mathrm{D}): ux+vy+h = 0\,</math></
<div style="text-align: center;"><math>(\mathrm{D'}): u'x+v'y+h' = 0\,</math></
L'angle formé par les deux droites est connu par sa tangente :
<div style="text-align: center;"><math>\tan(\mathrm{D}, \mathrm{D'})= \tan(\vec{\mathrm{N}},\vec{\mathrm{N}'}) = \frac{uv'-u'v}{uu'+vv'}</math></
== La droite dans l'espace euclidien ==
Ligne 80 :
La distance MH est donnée par
<div style="text-align: center;"><math>\mathrm{MH} = \frac{\|\overrightarrow{\mathrm{MM}_0}\wedge \vec \mathrm{V} \|} {\|\vec \mathrm{V} \|}</math></
==== Cas ou la droite est définie par l'intersection de deux plans ====
Ligne 99 :
Le plan étant défini par l'équation <math>ux + vy + wz + h = 0</math>, les droites perpendiculaires au plan sont toutes les droites de vecteur directeur <math>\vec{\mathrm{N}}\begin{pmatrix}u \\ v \\\ w\end{pmatrix}</math>.
Une droite (D) passant par le point <math>\mathrm{M}_0(x_0,y_0,z_0)</math> et perpendiculaire à <math>[\mathrm{P}] : ux + vy + wz + h = 0</math> a pour équations :
<div style="text-align: center;"><math>\frac{x-x_0}{u}=\frac{y-y_0}{v}=\frac{z-z_0}{w}</math></
dans le cas où aucun des réels, ''u'', ''v'', ''w'', n'est nul.
Si un seul des des réels est nul, par exemple ''u''= 0, le système devient :
<div style="text-align: center;"><math>x=x_0 \qquad \frac{y-y_0}{v}=\frac{z-z_0}{w}</math></
Si deux réels sont nuls, par exemple ''u''=''v''=0, le système devient :
<div style="text-align: center;"><math>x=x_0 \qquad y=y_0</math></
=== Distance entre deux droites quelconque de l'espace ===
Ligne 125 :
Soit M(''x'', ''y'', ''z'') un point du plan P dont l'équation dans un repère orthonormé est donnée par :
<div style="text-align: center;"><math>(1bis) \qquad ux+vy+wz+h=0</math></
Pour <math>\mathrm{M}_0(x_0,y_0,z_0)</math> un point spécifique de P on obtient :
<div style="text-align: center;"><math>(2bis) \qquad ux_0+vy_0+wz_0+h = 0</math></
En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient :
<div style="text-align: center;"><math>u(x-x_0)+v(y-y_0)+w(z-z_0) = 0\,</math></
En notant <math>\vec{\mathrm{N}}</math>, le vecteur de composantes <math>\begin{pmatrix}u \\ v \\ w\end{pmatrix}</math>, on exprime (1bis) comme suit :
<div style="text-align: center;"><math>\vec{\mathrm{N}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{M_0M}}=0</math></
Le plan P d'équation <math>ux+vy+wz+h=0</math> est donc orthogonal au vecteur <math>\vec{\mathrm{N}}\begin{pmatrix}u \\ v \\ w \end{pmatrix}</math> et ce vecteur est appelé un vecteur normal au plan P.
Ligne 137 :
Soit un point <math>\mathrm{M}(x,y,z)</math> et un vecteur <math>\scriptstyle \vec{\mathrm{N}} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}</math> non nul. Le point M appartient au plan P, passant par <math>\mathrm{M}_0(x_0,y_0, y_0)</math> et orthogonal à <math>\scriptstyle \vec{\mathrm{N}}</math>, si et seulement si :
:<div style="text-align: center;"> <math>\vec{\mathrm{N}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{M_0M}}=0</math></
Le plan P, passant par <math>\mathrm{M}_0(x_0,y_0,z_0)</math> et orthogonal à <math>\scriptstyle \vec{\mathrm{N}}</math>, a donc pour équation : :
:<div style="text-align: center;"><math>u(x-x_0) + v(y-y_0) + w(z-z_0)= 0\,</math></
=== Angles de deux plans ===
Ligne 145 :
Soient P et P' deux plans d'équations
<div style="text-align: center;"><math>\mathrm{P} : ux+vy+wz+h = 0\,</math></
<div style="text-align: center;"><math>\mathrm{P'} : u'x+v'y+w'z+h' = 0\,</math></
L'angle géométrique <math>(\mathrm{P}, \mathrm{P'})</math> est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux <math>(\vec{\mathrm{N}}, \vec{\mathrm{N'}})</math>
<div style="text-align: center;"><math>\cos(\mathrm{P}, \mathrm{P'}) = |\cos(\vec{\mathrm{N}},\vec{\mathrm{N'}})|=\frac{|uu'+vv'+ww'|}{\sqrt{u^2+v^2+w^2}\times\sqrt{u'^2+v'^2+w'^2}}</math></
=== Plans perpendiculaires ===
Les plan P et P' sont perpendiculaires si les vecteurs normaux <math>\vec{\mathrm{N}}</math> et <math>\vec{\mathrm{N'}}</math> sont orthogonaux. Ce qui implique <div style="text-align: center;"><math>uu'+vv'+ww' = 0 \,</math></
=== Distance algébrique d'un point M(''x'', ''y'', ''z'') à un plan P d'équation ''ux'' + ''vy'' + ''wz'' + ''h'' = 0 ===
Ligne 159 :
La droite perpendiculaire à P et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur <math>\scriptstyle \vec{\mathrm{N}} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}</math>, on montre que la distance algébrique entre M et P est donnée par :
: <div style="text-align: center;"><math>d_a(\mathrm{H}, \mathrm{M}) = \frac{ux+vy+wz+h}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}</math></
En valeur absolue:
<div style="text-align: center;"><math>\|\overrightarrow{\mathrm{HM}}\| = \frac{|ux+vy+wz+h|}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}</math></
=== Équation de plan et déterminant ===
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