« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices » : différence entre les versions

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== Exercices de cinématique ==
 
=== Lièvre et Tortue ===
Cet exercice fait très vite comprendre la différence entre diagramme horaire et diagramme de phase :
 
Le lièvre L ne fait d'abord que 100m en une heure.Il s'aperçoit alors de son retard sur dame Tortue T qui trotte à 200m/h.
Deux cas : il double sa vitesse toutes les heures ; ou il double sa vitesse tous les hectomètres ultérieurs.
Où et quand croise-t-il dame Tortue ?
 
'''Réponse:'''
 
1er cas : en gros sa vitesse est exponentielle du temps ; donc x(t) aussi.
2ème cas: sa vitesse est exp kx ! il arrive à l'infini en un temps fini!
 
plus précisément :
 
*1/.tracer x(t) : 1h ->100m ; 2h->100+200 =300m et T à 400m ; 3h->100+200+400 = 700m et T à 600m : donc croisement entre 2h et 3h :
 
x(t) = 200 t = 300 + 400 (t-2) solution : t= 2.5h et x= 500m.
 
*2/.tracer t(x) : 100m ->1h ; 200m ->1+1/2 h ; 300m ->1+1/2+1/4 h ; l'infini en 2h ! donc t< 2h : à 300m , T a 50m d'avance, qu'elle perd en 5mn : solution : t= 60+30+15+5 = 1h50 mn et x= 366.7m ( référence : entendu sur F-musique).
 
=== Ane et rivière ===
la rivière (R) est droite : y = kx ( disons k=1/2). L'âne Aliboron à t=0 en x= a (disons 2km) doit porter son bât au Douar D ( x= b ; disons 10 km) , mais doit se désaltérer une fois à la rivière ( t compté négligeable). Date d'arrivée ? (vitesse V : disons 4km/h)
 
Réponse :
 
Prendre le symétrique de D par rapport à (R), soit D': date d'arrivée = AD'/V ( A.N. : sqrt[ (6-2)² + (8-0)²)/4 ] = sqrt(5) = 2.23 h ) (référence : cours d'optique X , ou tout cours sur Fermat et chemin minimal).
 
=== Vent et avion ===
3 villes A, B, C forment un triangle équilatéral de côté a . Un vent de vitesse '''V''' souffle. Un avion volant ordinairement à la vitesse u met le temps T pour joindre AB , mais 3/2.T pour joindre BC et 3/2.T pour regagner A : déterminer '''V''' en fonction de a/T = v
 
Plus dur ? AB en T1 , BC en T2 et CA en T3 : déterminer V
 
'''Réponse :'''
 
Soit A(0;0) B(a;0) : la symétrie du problème indique que '''V''' = + V.'''i''' . Composer alors les vitesses et trouver V(A->B) par Al-Kashi : u + V = v . De même V(B->C) = V(C->B) = sqrt[ u²+ V² - uV sqrt(3)] = 2/3.v , soit uV = v.5/9.(2-sqrt(3)) :somme et produit donnent u et V (u>V).
 
Plus dur ? Oui, c'est vrai . D'un point O quelconque tracer a/T1. '''AB'''/a = OH1 ; de même OH2 et OH3 . Tracer I centre du cercle circonscrit au triangle H1H2H3 : la vitesse du vent est '''OI'''. On pourra recalculer la vitesse précédente pour contrôle. (référence : Metcherskii et ESG)
 
== Exercices de dynamique , très classiques ==