« Mouvement linéaire » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m Formatage, ajout de div style="text-align: center;" |
|||
Ligne 48 :
Bien entendu, si l'objet se déplace dans un plan, la position devient le vecteur position <math>\vec r</math>, repéré par deux coordonnées. Par exemple, on pourrait avoir :
<div style="text-align: center;"><math>\vec r={2 \choose 3}</math> cm</
=== Déplacement ===
Ligne 59 :
=== Vitesse moyenne ===
La vitesse moyenne d'un objet est donnée par :
<div style="text-align: center;"><math>v=\frac{distance}{temps}=\frac{position_{finale}-position_{initiale}}{temps}</math></
En d'autres termes :
<div style="text-align: center;"><math>v=\frac{d}{t}=\frac{x_f-x_i}{t}=\frac{\Delta x}{t}</math></
Les unités de la vitesse sont : <div style="text-align: center;"><math>[v]= m.s^{-1}\;</math></
En deux dimensions, la définition de la vitesse est identique sauf que la notation vectorielle apparaît.
Ligne 71 :
{{boîte déroulante|align=left|titre=Réponse|contenu=
<div style="text-align: center;"><math>v={\frac{(7-3) m}{10 s}}=0,4\, m/s</math></
}}
Ligne 78 :
{{boîte déroulante|align=left|titre=Réponse|contenu=
<div style="text-align: center;"><math>v=\frac{(10-30) km}{0,5 h}=-40\,km/h=\frac{-40\cdot 10^3 m}{60\cdot 60 s}=-\frac{40\cdot 10^3 m}{3,6\cdot 10^3 s}=-\frac{40 m}{3,6 s}=-11,1\,m/s</math></
La vitesse est négative, donc l'objet recule.
}}
Ligne 84 :
=== Vitesse instantanée ===
La vitesse instantanée d'un objet est la vitesse qu'il a à un instant précis et non au cours d'un intervalle de temps donné. Cette vitesse est obtenue en raccourcissant l'intervalle de temps entre les deux mesures de position finale et initiale, jusqu'à ce que cet intervalle soit infiniment court, c'est-à-dire nul. On a alors la vitesse instantanée à ce moment précis. Ainsi on peut écrire formellement :
<div style="text-align: center;"><math>v_{instantan\acute ee}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}</math></
et on verra que cette opération mathématique de limite correspond à la notion de dérivée.
Ligne 90 :
=== Accélération moyenne ===
L'accélération moyenne d'un objet est donnée par :
<div style="text-align: center;"><math>a=\frac{v_{finale}-v_{initiale}}{temps}=\frac{v_{f}-v_{i}}{t}=\frac{v_{2}-v_{1}}{t}=\frac{\Delta v}{t}</math></
Les unités de l'accélération sont [a]=m/s².
Ligne 118 :
=== L'accélération instantanée ===
De la même manière que pour la vitesse instantanée, on peut définir l'accélération instantanée par :
<div style="text-align: center;"><math>a_{instantan\acute ee}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}</math></
== Mouvements simples ==
Ligne 127 :
==== Propriétés ====
De la définition de la vitesse on tire :
<div style="text-align: center;"><math>v=v_{o}=\frac{x-x_{o}}{t}\;\Rightarrow\; v_{o}\cdot t=x-x_{o}\Rightarrow\; x=v_{o}\cdot t+x_{o}</math></
car la vitesse v au cours du temps ne change pas. Elle est donc la même à un instant t quelconque et à l'instant t=0 s, moment où on la note <math>v_o</math>.
Ainsi, on peut écrire
<div style="text-align: center;"><math>x(t)=v_{o}\cdot t+x_{o}</math></
Cette équation donne la position x(t) d'un objet au cours du temps en fonction de sa vitesse <math>v_o</math> (constante), de l'instant t qu'on considère et de sa position initiale <math>x_o</math>. C'est une droite affine de pente <math>v_o</math> et d'ordonnée initiale <math>x_o</math>.
Ligne 144 :
On a besoin des données suivantes :
<div style="text-align: center;">
{|border="1"
|+Données de la mission Appolo 12
Ligne 167 :
|Rayon de la lune||
|}
</
Trouvez vous même les données manquantes et la solution.
Ligne 201 :
:On a alors :
:<math>t = 2,55\cdot10^{6} / 4,63\cdot10^{-4} = 5,5\cdot10^{9}\,ans =</math>
:<div style="text-align: center;">''5,5 milliard d'années''</
:Mais en réalité, plus Andromède se rapprochera de la Voie Lactée, plus sa vitesse augmentera. Ainsi, le mouvement n'est pas à vitesse constante et le temps avant la rencontre sera plus petit :
:<div style="text-align: center;">''3 milliard d'années''</
=== Mouvement rectiligne uniformément accéléré MRUA ===
Ligne 213 :
On montre (voir annexe G.1) que pour un MRUA, on a :
<div style="text-align: center;"><math>x(t)=\frac{1}{2}\cdot a_{o}\cdot t^{2}+v_{o}\cdot t+x_{o}</math></
Ligne 220 :
Par définition de l'accélération, on a aussi :
<div style="text-align: center;"><math>a=a_{o}=\frac{v-v_{o}}{t}\;\Rightarrow\; a_{o}\cdot t=v-v_{o}</math></
<div style="text-align: center;"><math>\Rightarrow\; v=a_{o}\cdot t+v_{o}</math></
Ainsi, on peut écrire :
<div style="text-align: center;"><math>v(t)=a_{o}\cdot t+v_{o}</math></
Comme on le voit, la vitesse au cours du temps est une droite affine de pente <math>a_{o}</math> et d'ordonnée initiale <math>v_{o}</math>. D'autre part, la position au cours du temps est une parabole (en <math>t^{2}</math>).
Ligne 272 :
A partir des mesures brutes du tableau 2.2, on calcule les vitesses moyennes de chaque intervalle de temps ainsi que les temps moyens correspondants :
<div style="text-align: center;"><math>t_{moyen}=\frac{t_{i+1}+t_{i}}{2}\; et\; v_{moyenne}=\frac{\Delta h}{\Delta t}=\frac{h_{i+1}-h_{i}}{t_{i+1}-t_{i}}</math></
Les résultats se trouvent dans le tableau 2.3.
<div style="text-align: center;">
{|border="1"
|+Tab. 2.3 - Vitesse vs temps
Ligne 298 :
|align="center"|8-9||align="center"|0,4162||align="center"|4,0816
|}
</
A partir des résultats des tableau 2.2 et 2.3, on construit ensuite les graphes horaires (le temps est toujours placé sur l'axe des x) suivants : hauteur en fonction du temps (h vs t : figure 2.3) et vitesse en fonction du temps moyen (v vs t : figure 2.4) (vs signifie "versus" c'est-à-dire "en fonction de" en latin).
Ligne 339 :
* Or, c'est dans ce même temps (le temps de vol) que le caillou a parcouru verticalement la hauteur du pont. Verticalement, le mouvement étant un MRUA, on peut écrire :
<div style="text-align: center;"><math>h=\frac{1}{2}g\cdot t^{2}=0,5\cdot9,81\cdot3,16^{2}\cong49\, m</math></
==== Dernier exemple : La chute libre ... de la Lune ====
Ligne 365 :
De cette manière, on peut calculer la valeur de l'accélération que devrait avoir la Lune dans sa chute sur la Terre pour « tomber » d'un quart de tour. Très grossièrement, en confondant la chute de la Lune avec un simple mouvement balistique dont la composante verticale est un MRUA, on pourrait en effet écrire :
<div style="text-align: center;"><math>h=d_{terre-lune}=\frac{1}{2}a\cdot t^{2}=\frac{1}{2}a\cdot\left(\frac{T}{4}\right)^{2}</math></
où T est la période de rotation de la Lune autour de la Terre. Ainsi :
<div style="text-align: center;"><math>a=\frac{32\cdot d_{t-l}}{T^{2}}=\frac{32\cdot3,84404\cdot10^{8}}{\left(30\cdot24\cdot3600\right)^{2}}=1,83\cdot10^{-3}\, m/s^{2}</math></
Cette valeur est d'un bon ordre de grandeur puisqu'en réalité l'accélération (vers la Terre) de la Lune vaut :
<div style="text-align: center;"><math>a=2,7\cdot10^{-3}\, m/s^{2}</math></
Bien entendu, ces deux valeurs sont néanmoins assez différentes. Cependant, étant donné les hypothèses très grossières qui ont été faites, obtenir un bon ordre de grandeur est un résultat remarquable. En effet, on a considéré que le mouvement était balistique, c'est-à-dire qu'à tout instant la direction dans laquelle la Lune tombe est la même. Or, étant donné la courbure de la Terre, sur un quart de période, cette direction varie de 90°. En réalité, le mouvement n'est donc pas balistique, mais central, c'est-à-dire que la chute de la Lune se fait toujours vers un même point. Ainsi, le mouvement réel de la Lune ne se fait pas sur une parabole, comme dans le cas d'un mouvement balistique, mais sur une ellipse (très proche d'un cercle).
| |||