« Calcul écrit/Calcul de la racine quatrième d'un nombre » : différence entre les versions
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Soit A un entier, A<sub>1</sub> le nombre de dizaines de mille de A et x la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de A<sub>1</sub>. Alors x est le nombre de dizaines de la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de l'entier A.
On a<div style="text-align: center;">A = 10000 A<sub>1</sub> + A<sub>2</sub> avec 0 <math>\le</math> A<sub>2</sub> < 10000</
et<div style="text-align: center;">x<sup>4</sup> <math>\le</math> A<sub>1</sub> < (x + 1)<sup>4</sup></
donc<div style="text-align: center;">(10x)<sup>4</sup> <math>\le</math> 10000 A<sub>1</sub> < [10(x + 1)]<sup>4</sup></
Or A<sub>1</sub> et (x + 1)<sup>4</sup> étant des entiers distincts, leur différence est supérieure ou égale à l'unité. Donc :
<div style="text-align: center;">(x + 1)<sup>4</sup> - A<sub>1</sub> <math>\ge</math> 1</
et donc<div style="text-align: center;">[10(x + 1)]<sup>4</sup> - 10000 A<sub>1</sub> <math>\ge</math> 10000 > A<sub>2</sub></
donc<div style="text-align: center;">[10(x + 1)]<sup>4</sup> > 10000 A<sub>1</sub> + A<sub>2</sub> = A</
On a donc en définitive :<div style="text-align: center;">(10x)<sup>4</sup> <math>\le</math> 10000 A<sub>1</sub> <math>\le</math> 10000 A<sub>1</sub> + A<sub>2</sub> = A < [10(x + 1)]<sup>4</sup> </
ce qui établit l'énoncé précédent puisque<div style="text-align: center;">(10x)<sup>4</sup> <math>\le</math> A < [10(x + 1)]<sup>4</sup></
Il résulte de là que, si y est le chiffre des unités de la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de A, on a<div style="text-align: center;">(10x + y)<sup>4</sup> <math>\le</math> A < (10x + y + 1)<sup>4</sup></
et que <div style="text-align: center;">A = (10x + y)<sup>4</sup> + R</
R étant le reste de l'opération, reste qui vérifie d'ailleurs la relation
<div style="text-align: center;">R < (10x + y + 1)<sup>4</sup> - (10x + y)<sup>4</sup></
ou, tous calculs faits :
<div style="text-align: center;">R <4000x<sup>3</sup> + 4y<sup>3</sup> + 1200x<sup>2</sup>y + 120xy<sup>2</sup> + 600x<sup>2</sup> + 6y<sup>2</sup> + 120xy + 40x + 4y + 1</
Ainsi, on a donc : <div style="text-align: center;">A = 10000x<sup>4</sup> + 4000x<sup>3</sup>y + 600x<sup>2</sup>y<sup>2</sup> + 40xy<sup>3</sup> + y<sup>4</sup> + R</
ou, ce qui est mieux : <div style="text-align: center;">A = (10x)<sup>4</sup> + 4.(10x)<sup>3</sup>y + 6(10x)<sup>2</sup>y<sup>2</sup> + 4(10x)y<sup>3</sup> + y<sup>4</sup> + R</
Désignons par B la différence<div style="text-align: center;">A - (10x)<sup>4</sup></
différence que l'on appellera le premier reste partiel de l'opération.
On a<div style="text-align: center;">B = 4.(10x)<sup>3</sup>y + 6(10x)<sup>2</sup>y<sup>2</sup> + 4(10x)y<sup>3</sup> + y<sup>4</sup> + R</
donc <div style="text-align: center;">B / 4.(10x)<sup>3</sup> = y + [6.(10x)<sup>2</sup>y<sup>2</sup> + 4.(10x)y<sup>3</sup> + y<sup>4</sup> + R] / (4.(10x)<sup>3</sup> )</
Alors le quotient de B par 4.(10x)<sup>3</sup>, c'est-à-dire par le '''quadruple du cube du décuple de x''' est un nombre supérieur ou égal à y, y ne pouvant dépasser le chiffre 9 . Si donc on prend pour y un chiffre inférieur (au sens large) à la fois à 9 et à la partie entière de ce quotient, on aura soit le chiffre des unités de la racine quatrième cherchée, soit un chiffre trop fort. Pour lever l'ambigüité il suffit de former le nombre 10x + y, donc de placer le chiffre y à droite de x et d'élever le résultat à sa quatrième puissance. Si le résultat est inférieur ou égal à A, c'est que y convient et la racine quatrième de A approchée à une unité près par défaut est le nombre 10x + y, sinon on refait des essais identiques avec les nombres y - 1, y - 2, etc ...jusqu'à obtenir un résultat inférieur ou égal à A, la dernière tentative livrant donc le chiffre des unités de la racine quatrième.
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Enfin, si le nombre A n'est pas une quatrième puissance parfaite, pour obtenir des décimales à la racine quatrième, il suffit là encore de compléter le nombre A à droite avec des 0 de façon à obtenir des tranches de quatre chiffres et d'"abaisser" celles-ci une fois arrivé à la fin du nombre.
[[Catégorie:Calcul écrit (livre)|Calcul de la racine quatrième d'un nombre]]
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