« Approfondissements de lycée/Nombres complexes » : différence entre les versions

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Formatage, ajout de code
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:<math> \begin{bmatrix} \rho & 0 \\ 0 & \rho \end{bmatrix} = \rho.\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \rho I \,</math>
 
'''''<ttcode>I</ttcode>''''' est la matrice de l'application Identité (ou matrice d'une rotation d'angle nul).
 
Multiplier ''z' '' par un nombre complexe de module unité et d'argument ''θ'' a pour effet de changer son argument sans changer son module. Cela revient à lui appliquer une rotation vectorielle d'angle ''θ''. La matrice d'une telle rotation est de la forme :
:<math> \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & cos \theta \end{bmatrix} = \cos \theta \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \sin \theta \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \cos \theta I + \sin \theta J \,</math>
 
'''''<ttcode>J</ttcode>''''' est la matrice de la rotation d'un quart de tour.
 
L'addition des matrices carrées d'ordre deux correspond à celle des applications linéaires planes, et la multiplication des mêmes matrices à la composition des mêmes applications.
:<math> \rho I . (\cos \theta I + \sin \theta J) = \rho \cos \theta I + \rho \sin \theta J = x I + y J = \begin{bmatrix} x & -y \\ y & x \end{bmatrix} \,</math>
 
Dans le plan, une rotation d'un demi-tour équivaut à une symétrie centrale, qui change les coordonnées en leur opposées. La matrice associée est donc &nbsp;- ''<ttcode>I</ttcode>''. &nbsp; On vérifie que :
:- la composée de deux rotations d'un demi-tour est une rotation d'un tour entier, ce qui revient à ne pas tourner, c'est-à-dire à une rotation d'angle nul. En d'autres termes : &nbsp;- '''''<ttcode>I</ttcode>'''''<sup> 2</sup> = '''''<ttcode>I</ttcode>'''''
:- la composée de deux rotations d'un quart de tour donne un demi-tour, ou en d'autres termes : &nbsp;'''''<ttcode>J</ttcode>'''''<sup> 2</sup> = - '''''<ttcode>I</ttcode>'''''.
 
On peut ainsi identifier &nbsp;'''''<ttcode>I</ttcode>'''''&nbsp; à 1 et &nbsp;'''''<ttcode>J</ttcode>'''''&nbsp; à &nbsp;'''i'''. En sens inverse, nous pouvons considérer :
* '''i'''&nbsp; comme une rotation d'un quart de tour,
* -1 &nbsp; comme une rotation d'un demi-tour,