« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Devoir surveillé 1 » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Ligne 70 :
*6/. la particule rebondit avec la vitesse e.Vo' qui joue le rôle du nouveau Vo ; ainsi la progression et plus rapide que géométrique et donc la balle s'arrête aussi au bout d'un temps Fini.
*7/ Cette démonstration sera faite en balistique extérieure. Torricelli ne la trouva pas. En particulier, la trajectoire parabolique donne le même angle de la vitesse d'arrivée que celui de départ ( symétrie t/-t). Les bombardieri savaient depuis longtemps que le tir par mortier donnait une différence significative, et que l'arrivée était quasi-verticale. Torricelli, mathématicien, aurait dû être plus modeste et aurait dû répondre: solution provisoire, sans résistance de l'air ; en attente d'un Bernouilli!▼
▲*7/ Cette question est de niveau plus difficile.Cette démonstration
Appelons la résistance par unité de masse g.f(v), dirigée selon la tangente. La gravité donne donc une concavité vers le bas : quand l'abscisse curviligne augmente , l'angle A(t) de la vitesse avec l'horizontale diminue de A(t=0) à -90° : par conséquent -A(t), fonction monotone croissante du temps peut être choisi comme "échelle de temps" [changer d'échelle est souvent une "astuce" judicieuse]: dt = -dA. v/g cosA ; l'équation du mouvement le long de la tangente devient donc :
dv/dt = -g sinA -g f(v) soit :
dv/dA = v tanA + v.f(v)/cosA ( equation (B))
équation du premier ordre, avec C.I. de Cauchy ( Ao, Vo).
D'où v = V(A), ce qui est l'[[hodographe]] en coordonnées polaires.
Quand A tend vers -90°, v tend vers une limite :f(V1) = 1.
La trajectoire en coordonnées intrinsèques est R = V²(A)/(g.cosA).
Cette trajectoire est dissymétrique par rapport à sa culmination (qui correspond à A = 0), car l'équation (B) donne v(A) > v(-A) et x(t) représente l'aire balayée par l'hodographe (cf. [[Vitesse#Coordonnées polaires|vitesse aréolaire]]).
L'immense différence avec le cas de Torricelli est que :
* la vitesse est bornée par V1 et ne croît donc pas indéfiniment.
* et x(A) est donc borné ! y(A) tendant vers -<math>\infty</math>
C'est bien ce qu'affirmaient les artilleurs : il y a une asymptote.
L'équation (B) s'appelle équation fondamentale de la Balistique.
*Le cas le plus facile d'intégrabilité est donné par Lagrange : f(v) = kv^n = (v/V1)^n . L'équation (B) est alors une équation de Bernoulli, et s'intègre comme telle (la nouvelle fonction inconnue est X(A)= 1/f), et on obtient une equation différentielle linéaire du premier ordre en X(A).
* En pratique, les artilleurs préfèrent une intégration numérique de (B), compte-tenu de la formule empirique de f(V) déterminée en soufflerie.
| |||