« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Les Principes avant 1687 » : différence entre les versions
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Ligne 32 :
Soit une barre de longueur OA = L. Sa période est T = K.sqrt(L).
On y fixe une barre identique AB : le centre de gravité a été abaissé d'un facteur 2 ; mais la période est T.sqrt(2): donc la barre AB a ralenti le mouvement de OA ; mais "évidemment" OA a "poussé" AB. Quel est le pendule simple de longueur l dont la période est T ? cette question , ainsi que celle du centre percussion, avait déjà été posée par Mersenne au jeune Huygens(1646); mais il faudra que ce problème mature. Dès 1654, Huygens avance ,puis fait une progression rapide en 1659
Le raisonnement de Huygens s'appuiera sur le principe de Torricelli généralisé :
Quand le pendule descend, les vitesses acquises dans la descente doivent permettre au centre de gravité de remonter exactement à la même altitude, QUE les LIAISONS INTERNES PERSISTENT ou NON!
Etudions le cas du pendule composé d'une barre OB , de centre de gravité OG = OB/2 = a.
Elevons G de la hauteur H . Quand G passe à la verticale avec la vitesse V = Lw, la particule située à la distance r aura la vitesse (r/L)V et la somme des "énergies cinétiques" sera : 1/2 (somme miri²)w², ce qui permettra à G de remonter à la hauteur H. Plus généralement, à tout instant, on devra avoir , en appelant J = somme(miri²) l'inertie à la rotation :
1/2 J w² +M g h = cste. Equation que Huygens avait déjà reconnu être pour les petites oscillations le mouvement pendulaire d'un pendule simple T = 2Pi sqrt( J/Mga); donc la longueur du pendule simple équivalent est l = J/Ma.
*Théorème de Huygens : J(O) = Ma² + J(G):
*démonstration : ri² = ('''OG+ GMi''')² = OG² + GMi² + 2 '''OG.GMi''' . Le troisième terme s'annule par sommation. Leibniz réutilisera ce résultat en géométrie.
La longueur du pendule simple synchrone est donc OO' = a + J(G)/Ma . Le pendule pesant a donc même période suspendu en O'. La période est la plus courte si a = sqrt(J(G)/M).
Un pendule construit de manière que deux couteaux parallèles de distance L donne suspendu à chacun de ses couteaux la même période a pour période T = 2Pi sqrt(L/g). On s'arrange techniquement pour que cette période soit minimale : le pendule s'appelle alors pendule de Kater : jusqu'à l'invention de gravimètres à chute libre , le pendule de Kater donnait g à 10^-4 , voire 10^-5 près. Huygens avait donc permis d'accomplir le voeu de Mersenne : mesurer g ( bien que cette rédaction soit anachronique).
Au fond, sans bien le comprendre, Huygens venait d'énoncer le principe fondamental de la rotation, attendu qu'il savait que la force de pesanteur n'était en rien particulière.
Reprenons ce qui a été dit :
Si le moment C d'une force par rapport à l'axe d'un solide délivre une puissance P = C.d(<math>\theta</math>/dt) , alors P = d/dt ( 1/2 J (<math>d\theta/dt</math>)²).
Soit :
{{exemple|Enoncé|PFDR (Newton 1687)|<math> J\frac {d^2\theta}{dt^2} = C_O(\theta)+(CI :(\theta(t=0);\ddot{\theta}(t=0)) </math>}}
== Conclusion-Résumé ==
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