« Étude de l'œuvre mathématique de Lazare Carnot » : différence entre les versions
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''Cet article présente les parties I à XVIII. Pour la suite de l'ouvrage, voir les liens à la fin de l'article.''
Au début de son ouvrage, Carnot donne la principale raison pour laquelle il écrit ses réflexions. Avec la
Pour Carnot, il était clair que le calcul différentiel et intégral
''« (...) mais comme tout annonce que la culture des mathématiques va reprendre un nouvel essor, on a pensé
[[image: CI2.JPG|thumb|300px|right|Qu’est-ce que le CI ?]]▼
L’importance du calcul infinitésimal ne réside pas seuleument dans la méthode de calcul très commode car il peut aussi se transformer en une méthode d’analyse des phénomènes naturels et virtuels. L’étonnement vient en fait de la grandeur insignifiante qui entre dans le calcul et dont on n’est jamais sur si elle a disparue ou pas. Par conséquent, pour Carnot, la question peut être posée ainsi : est-ce sa propriété que d’être les deux à la fois ? ▼
Ce qui expliquerait sa métaphysique qui lui permet d’échapper aux sens et à l’imagination.▼
''« '''Il n’est aucune découverte qui ait produit dans les sciences mathématiques une révolution aussi heureuse et aussi prompte que celle de l’analyse infinitésimale''' ; aucune n’a fourni des moyens plus simples ni plus efficaces pour pénétrer dans la connaissance des lois de la nature. En décomposant, pour ainsi dire, les corps jusque dans leurs éléments, elle semble en avoir indiqué la structure intérieure et l’organisation ; mais comme ce qui est extrême échappe aux sens et à l’imagination, on n’a jamais pu se former qu’une idée imparfaite de ces éléments, espèces d’êtres singuliers, qui, tantôt jouent le rôle de véritables quantités, tantôt doivent être traités comme absolument nuls, et semble par leurs propriétés équivoques, '''tenir le milieu entre la grandeur et le zéro, entre l’existence et le néant'''.»'' page 5-6▼
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▲Ce qui expliquerait sa métaphysique qui lui permet
▲''« '''Il
[[image: CI3.JPG|thumb|300px|left|Qu’est-ce que le CI ?]]
Ensuite Carnot explique ce
''"(*)Je parle ici conformément aux idées vagues
Mais il a toujours le souci d'une explication correcte et compréhensible sans entrer dans les débats inutiles et sans oublier son objectif qui est de présenter, à son lecteur, le calcul infinitésimal.
''« Mon but dans cet écrit est de rapprocher les différents points de vue,
Par exemple le calcul intégral ressemble assez à la méthode de calcul de la surface d’un cercle. Peut-être que l’idée venait de là ?
Le calcul de la surface
[[image: CI1.JPG|thumb|300px|left|Qu’est-ce que le CI ?]]
''« La difficulté
Justement, cette quantité négligée
''« En outre, chacun des côtés de ce polygone diminue évidemment de grandeur à mesure que le nombre de ces côtés augmente ; et par conséquent, si l’on suppose que le polygone soit réellement composé d’un très grand nombre de côtés, on pourra dire aussi que chacun d’eux est réellement très petit.»'' Page 8-9
En mathématiques, les théorèmes sont rigoureux et ne changent pas alors
C’est aussi
('''Expérience visuelle''')
Naturellement, si
''« Cela posé, s’il se trouvait par hasard dans le cours
[[image: CINF1.JPG|thumb|300px|right|la figure de Carnot]]
''"Par exemple, soit proposé de mener une tangente au point donné M de la circonférence MBD. Soit C le centre du cercle, DCB
''"D’une autre part, l’équation de la courbe étant pour le point M, y
''"Si donc MO et NO étaient connues, on aurait la cherchée de TP ; or ces quantités MO, NO sont très petites, puisqu’elles sont moindres chacune que le côté MN, qui, par hypothèse, est lui-même très petit. Donc (II) on peut négliger sans erreur sensible ces quantités par comparaison aux quantités 2y et 2x – 2a auxquelles elles sont ajoutées. Donc l’équation se réduit à TP = y
(On a dû naturellement la regarder d’abord comme une méthode d’approximation) ''Si ce résultat n’est pas absolument exact, il est au moins évident que '''dans la pratique il peut passer pour tel''', (…) mais quelqu’un qui n’aurait aucune idée de la doctrine des infinis serait peut-être fort étonné si on lui disait que l’équation TP = y² / (a – x), non seulement approche beaucoup du vrai, mais est réellement de la plus parfaite exactitude ; (…) ; car il est visible que les triangles semblables CPM, MPT donnent CP/MP = MP/TP d’où l’on tire TP = MP²/CP = y² / (a – x), comme ci-dessus.''
''Le calcul de la surface d’un cercle n’est pas moins exact que le résultat trouvé ci-dessus.''
▲'''Partie VI'''
''"Ces quantités élémentaires peuvent fournir au calcul des ressources inimaginables : quelques vagues et peu précises que puissent paraître ces deux expressions de '''très grand''' et '''très petit''', (...), on voit …que ce n’est pas sans utilité qu’on les emploie dans les combinaisons mathématiques, et que leur usage peut-être d‘un grand secours pour faciliter la solution des diverses questions qui peuvent être proposées;"''
''"Mais '''l’avantage''' qu’elles procurent est bien plus considérable encore qu’on avait d’abord lieu d’espérer ; car il suit des exemples rapportés que ce qui n’avait été regardé en premier lieu comme une simple méthode d’approximation, conduit au moins dans certains cas, à des résultats parfaitement exacts. Il serait intéressant de savoir distinguer ceux où cela arrive, d’y ramener les autres autant qu’il est possible, et de changer ainsi cette méthode d’approximation en un calcul parfaitement exact et rigoureux. Or, tel est l’objet de l’analyse infinitésimale."''
▲'''Partie VIII'''
''"Or, on peut rendre fort simplement raison de ce qui est arrivé dans la solution du problème traité ci-dessus, en remarquant que l’hypothèse d’où l’on est parti étant fausse, '''puisqu’il est absolument impossible qu’un cercle puisse être jamais considéré comme un vrai polygone''', quel que puisse être le nombre de ses côtés, il a dû résulter de cette hypothèse une erreur quelconque dans l’équation TP = y(2y + NO) / (2a - 2x – MO²) et que le résultat TP = y² / (a - x) étant néanmoins certainement exact, comme on le prouve par la comparaison des deux triangles CPM, MPT, on a pu négliger MO et NO dans la première équation, et même on a dû le faire pour rectifier le calcul et détruire l’erreur à laquelle avait donné lieu la fausse hypothèse d’où l’on est parti. Négliger les quantités de cette nature est donc non seulement permis en pareil cas mais il le faut et c’est la seule manière d’exprimer exactement les conditions du problème."''
(Ces résultats ne sont exactes que par compensations ''"Le résultat exact TP = y²/( a – x) n’a donc été obtenu que par compensation d’erreurs ; et cette compensation peut-être rendue plus sensible encore en traitant l’exemple rapporté ci-dessus d’une manière un peu différente, c’est-à-dire, en considérant le cercle comme une véritable courbe et non comme un polygone."''
Ligne 88 ⟶ 90 :
''"Ce résultat est parfaitement juste, puisqu’il est conforme à celui qu’on a obtenu par la comparaison des triangles CPM, MPT ; et cependant les équations TP = MZ/RZ et MZ/RZ = y/ (a - x), d’où il a été tiré, '''sont certainement fausses toutes les deux''', puisque la distance de RS à MP n’a point été supposée nulle, ni même très petite, mais bien égale à une ligne quelconque arbitraire. Il faut par conséquent de toute nécessité que les erreurs se soient compensées mutuellement par la comparaison des équations erronées."''
== Partie X ==
▲'''Partie X''' (Pourquoi cette compensation a lieu ?)
''"Voilà donc des erreurs compensées bien acquis et bien prouvé ; il s’agit maintenant de l’expliquer, de rechercher le signe auquel on reconnaît que la compensation a lieu dans les calculs semblables au précédant, et les moyens de la produire dans chaque cas particulier. Or il suffit pour cela de remarquer que les erreurs commises dans les équations TP = y (MZ/RZ) et MZ/RZ = y / (a – x) pouvant être rendues aussi petites qu’on le veut, celle qui aurait lieu, s’il s’en trouvait une dans l’équation résultante TP = y²/ (a - x), pourrait également être rendue aussi petite qu’on le voudrait, et qu’elle dépendrait de la distance arbitraire des lignes MP, RS. Or, cela n’est pas, puisque le point M par où doit passer la tangente étant donné, il ne se trouve aucune des quantités a, x, y, TP de cette équation qui soit arbitraire ; donc il ne peut y avoir en effet aucune erreur dans cette équation."''
Ligne 96 ⟶ 97 :
''"Il suit de-là que la compensation des erreurs qui se trouvaient dans les équations TP = y (MZ/RZ) et MZ/RZ = y / (a – x), se manifeste dans le résultat par l’absence des quantités MZ, RZ qui causaient ces erreurs ; et que par conséquent, après avoir introduit ces quantités dans le calcul pour faciliter l’expression des conditions du problème, et les avoir traitées dans les équations qui exprimaient ces conditions comme nulles par comparaison aux quantités proposés, afin de simplifier ces équations, il n’y a qu’à éliminer ces mêmes quantités des équations où elles peuvent se trouver encore, pour faire disparaître les erreurs qu’elles avaient occasionnées, et obtenir un résultat qui soit parfaitement exact."''
''"L’inventeur a donc pu être conduit à sa découverte par un raisonnement bien simple : si à la place d’une quantité proposée, a-t-il pu dire, j’emploie dans le calcul une autre quantité qui ne lui soit point égale, il en résultera une erreur quelconque ; mais si la différence des quantités est arbitraire, et que je sois maître de la rendre aussi petite que je voudrai, cette erreur ne sera point dangereuse ; je pourrais même commettre à la fois plusieurs erreurs semblables sans qu’ils s’ensuivit aucun inconvénient, puisque '''je demeurerai toujours maître du degré de précision''' que je voudrai donner à mes résultats."''
''"Pour fixer davantage ces idées, et donner aux principes qui en dérivent le degré de précision et de généralité qui leur convient, je remarquerai que les quantités (…) peuvent se distinguer en deux classes ; la première, composée des quantités qui, comme MC, MP, PT, MT, sont ou données ou déterminées par les conditions du problème ; et la seconde, composée des quantités qui, comme RS, RT’, ST’, dépendent de la position arbitraire du point R, et telles en même temps, qu’à mesure que ce point R se rapproche du point M, chacune d’entre elles s’approche de sa correspondante dans la première classe, en sorte que MP, par exemple, est la limite de RS, c’est-à-dire, le terme fixe dont elle approche continuellement, ou, si l’on veut, sa dernière valeur ; de même MT est la limite ou dernière valeur de RT’, et PT celle de ST’ ; par la même raison, il est clair que les limites ou dernières valeurs de MZ, RZ, MR, T’T, sont toutes 0 (…)"''
''"Imaginons donc maintenant, pour étendre ces remarques aux problèmes du même genre, un système quelconque de quantités proposées, et qu’il soit question de trouver les rapports qui existent entre elles."''
''« D’abord je comprendrai sous le nom de quantités désignées, non seulement toutes les quantités qui sont proposés par l’énoncé même de la question, (…) »''
''"J’appellerai, au contraire, quantités non-désignées ou auxiliaires toutes celles qui ne font point partie du système des quantités désignées, (…), mais y sont introduites seulement pour faciliter la comparaison des quantités proposées."''
Ligne 118 ⟶ 119 :
''"Ainsi, dans l’exemple précédent, '''MP, MC, MT, DP, etc sont des quantités désignées''', parce qu’elles dépendent uniquement de la position du point M (…) ; mais RS, et toutes celles qui en dépendent, comme '''MZ, RZ, T’T, T’P, etc. sont des quantités auxiliaires''', parce qu’on a imaginé de les mener que pour aider à la solution de la question, qui était de trouver le rapport de MP à TP."''
''« Lorsqu’en mathématique, deux lignes, deux surfaces, (…) sont supposés s’approcher (…), on dit que ces deux quantités ont pour dernière raison une raison d’égalité. »''
[[image: CINF3.JPG|thumb|300px|right|Figure Carnot-3]]
▲'''Partie XVII'''
== Partie XVII ==
''« Si l’une de ces grandeurs est une quantité désignée et l’autre est une quantité auxiliaire, la première sera dite limite ou dernière valeur de la seconde ; c’est-à-dire, qu’une limite n’est autre chose qu’une quantité désignée de laquelle une quantité auxiliaire est supposée s’approcher perpétuellement, de manière qu’elle puisse en différer aussi peu qu’on voudra, et que leur dernière soit une raison d’égalité. »''
Ligne 129 ⟶ 131 :
''« Ainsi, '''il n’y a que les quantités auxiliaires qui, à proprement parler, aient ce que j’appelle une limite; car les quantités désignées étant supposées ne point changer''', (…), elles ne peuvent strictement parlant avoir de limites, (…) »''
''"Ainsi, en général nous nommons dernières valeurs et dernières raisons des quantités les valeurs ou les raisons des quantités les valeurs ou les raisons qui sont en effet les dernières de celles qu’assigne à ces grandeurs et à leurs rapports, '''la loi de continuité''', lorsque chacune d’elles est supposée s’approcher perpétuellement et par degrés insensibles de la quantité désignée qui lui répond."''
== Anecdote: la création du calcul infintésimal ==
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