« Électrocinétique » : différence entre les versions

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→‎Le rectangle de 6 carrés identiques : re-rédaction , sans modification théorique
m (→‎Le rectangle de 6 carrés identiques : re-rédaction , sans modification théorique)
 
 
On remarquera que tout noeud donne la loi des noeuds-Millman ( au fond, la loi du Laplacien_nul Laplacien-discret, qui est nul ici ).
 
On remarquera que tout cut-set sur la carte des courants redonne bien : courant sortant identiquement nul.
 
On pourra enfin vérifier la loi de puissance de Tellegen.
 
'''Correction''' :
 
évidemment, tout élève demande : mais comment faire pour trouver ?
La solution était "aidée" :
En effet la symétrie permettait doncpermet d'avoir, en choisissant V(C4) = 0 , V(B4) = 32 et V(C3) = 37 ;
donc le courant de sortie : I = 37/r + 32/r = 69 / r . Si on trouve V(A1), c'est gagné !
 
Voici une correction ( parmi d'autres... doivent) être: plusprendre simplesles ?trois ) : prendreinconnues V(A3) = x et V(C2) = y et V(B3) = z ; et on aura alors V(A1) = x+y ! Et il reste à trouver x+y ! on propose les 3 équations de noeuds-Millman '''en C3''' : y + z = 3*37 = 111 ; '''en B4''' : 2x + 4z = 320 ; '''en B3''' ( tenir compte de V(B2)= x+y-z ! ) : (x+y-z)+ x + 32 + 37 = 4z soit 2x + y - 5z = -69 ; ce qui donne aisément -y + 9z = 389 donc 10z = 389 +111 = 500 , soit z = 50 , puis y = 61 et x= 60 donc V(A1) = 121 .
 
On propose d'écrire les 3 équations de noeuds-Millman '''en C3''' : y + z = 3*37 = 111 ; '''en B4''' : 2x + 4z = 320 ; '''en B3''' ( tenir compte de V(B2)= x+y-z ! ) : (x+y-z)+ x + 32 + 37 = 4z soit 2x + y - 5z = -69 .
Sans aide, pas d'autre solution qu'avec 4 eq lin à 4 inconnues + Scilab.(Y.Rocard suggère de prendre simplement 4 trajets différents de A1 à C4 , évidemment en tenant compte de la symétrie).
 
Ce qui donne en éliminant x, puis y : -y + 9z = 389 donc 10z = 389 +111 = 500 ,
Une solution astucieuse (LLG94) consiste à injecter symétriquement le courant en A1 et A4 et le faire sortir symétriquement en C1 et C4 ce qui donne le diagramme D1 , puis construire le diagramme D2 avec entrée en A1 et C1 , sortie en A4 et C4 : ceci donne :
 
soit z = 50 , puis y = 61 et x= 60 donc V(A1)= x+y = 121 .
 
Sans aide, pas d'autre solution qu'avec 4 eq lin à 4 inconnues, +qu'un logiciel genre Scilab résout vite.(Y.Rocard suggère de prendre simplement 4 trajets différents de A1 à C4 , évidemment en tenant compte de la symétrie).
 
Une solution astucieuse (LLG94)permet de n'avoir que 3 eq-lin_à_3-inc ; elle consiste à injecter symétriquement le courant en A1 et A4 et le faire sortir symétriquement en C1 et C4 ce qui donne le diagramme D1 , puis construire le diagramme D2 avec entrée en A1 et C1 , sortie en A4 et C4 : ceci donne :
 
2 1 1 2
et l'on retrouve bien R1 + R2 = 2/3 + 25/23 = 121/69, en '''''superposant''''' 23 D1 union 3 D2 .cqfd.
 
¤=¤ Remarque :
LaY.Rocard fait remarquer que la résistance 121/69 (=~1.7536 r ) est proche de 119/70 fait= remarquer17/10 Y.Rocard : en effet, si l'on shunte A2 et B1 , et puis A3 B2 C1 , etc , on obtient une résistance légèrement inférieure de 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/4 + 1/2 = 17/10 r.
 
Suivant le même raisonnement,type onde peut remarquerremarque, qu'en shuntant le segment A3 C2, on ne devrait abaisser la résistance que de peu : unde calcul assez peu onéreuxfait, maisle sans gloire,calcul donne R = 128/73 (= 1.7534 r ).
¤=¤
*Reste enfin la question souvent posée : on donne le circuit : diriez-vous V(B1) supérieur ou inférieur à V(A2)? Il convient d'"éduquer son raisonnement" contre une "intuition spontanée démunie".
 
L'idée est de deviner les équi-V : si vous repérez que V(C2) > V(A3) , vous aurez gagné par "continuité". Or cela est assez raisonnable : si les sondes étaient placées en B1 et B4, la symétrie donne la médiane comme ligne neutre. Si on déplace les deux sondes symétriquement vers A1 et C4 , il paraît assez raisonnable de dire que la ligne neutre va se déplacer en sens des aiguilles de montre, "un peu" seulement; "donc" V(C2)> V(A3). Il est instructif sur le diagramme des tensions de dessiner les équipotentielles. Cela éduque l'intuition.
 
== Problème des 9 carrés ==
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