« Mathématiques avec Python et Ruby/Quaternions et octonions en Ruby » : différence entre les versions

<noinclude>{{Mathématiques avec Python et Ruby}}</noinclude>

 

 

On a vu dans [[Mathématiques avec Python et Ruby/Nombres complexes en Ruby|le chapitre précédent]] que pour Ruby, un nombre complexe ''z'' est essentiellement une structure abritant deux réels, accessibles par ''z.real'' et ''z.imag'' respectivement. La [[w:Octonion#Construction_de_Cayley-Dickson|construction de Cayley-Dickson]] généralise ce point de vue: En prenant deux complexes ''a'' et ''b'', on peut les regrouper dans une nouvelle structure qui est considérée comme un nombre: Un [[w:Quaternion|quaternion]].

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La définition d'un quaternion se fait dans une [[w:Classe (informatique)|classe]] nommée ''Quaternion'':

La première [[w:Méthode (informatique)|méthode]], l'[[w:Instance (programmation)|initialisation]], crée donc deux variables ''a'' et ''b'' (qui seront des complexes, mais Ruby ne le sait pas encore):

 

 

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<source lang="ruby">

Désormais on accède aux deux complexes ''a'' et ''b'' d'un quaternion ''q'' par ''q.a'' et ''q.b''.

 

 

Pour afficher un quaternion ''q'' avec ''puts(q)'', il est nécessaire de redéfinir (une sorte de '''surcharge''') sa méthode de conversion en chaîne de caractères (''string''):

Le quaternion de Ruby ne possède alors que deux propriétés, ''a'' et ''b'', mais on va se rattraper sur les [[w:Méthode (informatique)|méthodes]], qui opèrent sur un quaternion (ou deux):

 

 

 

Le module d'un quaternion est un réel:

 

 

 

Le conjugué d'un quaternion est un quaternion de même module que celui-ci:

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Pour additionner deux quaternions, on additionne leurs ''a'' respectifs, et leurs ''b'' respectifs, et on crée un nouveau quaternion à partir des deux nombres complexes obtenus:

Pour calculer et afficher la somme des quaternions ''p'' et ''q'', il suffit alors d'entrer ''puts(p+q)''.

 

 

La soustraction des quaternions relève d'un principe analogue:

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Le [[w:Quaternion#Multiplication_de_Hamilton|produit]] de deux quaternions est plus difficile à définir:

</source>

 

 

Pour diviser un quaternion par un autre, on peut faire ainsi:

Cet exemple révèle que <math>\left(-\frac{22}{30}\right)^2+\left(\frac{4}{30}\right)^2 +\left(\frac{12}{30}\right)^2+\left(\frac{16}{30}\right)^2=1</math>, c'est-à-dire que <math>22^2+4^2+12^2+16^2=484+16+144+256=900=30^2</math>, qui est une décomposition de <math>30^2</math> comme [[w:Théorème_des_quatre_carrés_de_Lagrange|somme de 4 carrés]].

 

 

La classe Quaternion de Ruby tient en entier dans un fichier plutôt léger, au vu de ses possibilités:

 

 

 

Ce qui est intéressant avec la construction de Cayley-Dickson utilisée ci-dessus pour les quaternions, c'est qu'elle se généralise: En définissant une structure (un [[w:Objet (informatique)|objet]]) comprenant deux quaternions ''a'' et ''b'', on définit un [[w:Octonion|octonion]].

 

 

 

Comme pour les quaternions, on décrit l'objet ''octonion'' dans une classe ''Octonion'':

Au passage on définit les propriétés ''a'' et ''b'' de l'octonion comme celles du quaternion, sauf que cette fois-ci ce ne sont plus des complexes mais des quaternions. Mais comme Ruby est faiblement typé, cette particularité n'apparaîtra que lorsque ''a'' ou ''b'' sera utilisé.

 

 

Là encore, la méthode ''to_s'' se définit comme celle des quaternions, mais il y a 8 nombres à afficher au lieu de 4:

Pour accéder au premier de ces nombres, que est la partie réelle du ''a'' de ''a'', on note ''a.a.real''. Autrement dit, on parcourt un arbre binaire, de profondeur 3.

 

 

Les fonctions sur les octonions se définissent presque comme celles sur les quaternions, Cayley-Dickson oblige:

 

 

Comme pour les quaternions:

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Comme pour les quaternions, on additionne les octonions composante par composante (''a'' avec ''o.a'', ''b'' avec ''o.b''):

</source>

 

 

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</source>

 

 

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</source>

 

 

<source lang="ruby">

</source>

 

 

L'objet ''Octonion'' de Ruby est lui aussi, assez léger:

pour être en mesure d'effectuer des calculs sur les octonions en Ruby.

 

 

*En fait, les quaternions existent déjà sous Ruby, à condition de les télécharger: [http://www.math.kobe-u.ac.jp/~kodama/tips-ruby-quaternion.html]; sur le même site, l'auteur propose aussi des octonions.