« Mathématiques avec Python et Ruby/Suites en Python » : différence entre les versions

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#Même le [[w:Nombre d'or|nombre d'Or]] peut s'obtenir comme limite d'une suite basée sur les [[w:Suite de Fibonacci|nombres de Fibonacci]]...
 
== Suites récurrentes ==
 
Les suites récurrentes sont celles pour lesquelles <math>u_{n+1}</math> dépend de <math>u_n</math>. Mais pour la suite de Fibonacci, la dépendance va plus loin, non seulement le dernier terme intervient, mais également le [[w:pénultième|pénultième]].
 
=== Suite logistique ===
 
La suite est [[w:Suite logistique|définie par]] <math>u_{n+1}=4u_n\left(1-u_n\right)</math>. Son comportement dépend grandement de la valeur de <math>u_0</math> mais elle est souvent [[w:Théorie du chaos|chaotique]]. Pour calculer ses 20 premiers termes, on peut écrire une simple boucle :
 
<source lang="python">
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</source>
 
En effet, une suite récurrente se représente, si ''n'' est le temps, par l'affectation d'une variable avec l'image de son ancienne valeur par une fonction (ici, <math>x \mapsto 4x\left(1-x\right)</math>). Si le premier terme de la suite est une fraction, il en est de même pour tous les termes suivants :
 
<source lang="python">
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</source>
 
=== Suites arithmétiques et géométriques ===
 
Une suite est arithmétique si on passe de chaque terme au suivant en additionnant le même nombre, appelé ''raison'' de la suite. L'objet ''range'' de ''Python'' est donc une suite arithmétique d'entiers.
 
Par exemple, si on place 2000 € avec des intérêts simples s'élevant à 3 % de 2000, soit 60 € par an, l'évolution du capital pendant 20 ans s'obtient avec ce script :
 
<source lang="python">
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</source>
 
Une suite est géométrique si on passe de chaque terme au suivant en multipliant par un même nombre appelé également ''raison''. Par exemple, si on place 2000 € avec des intérêts composés au taux de 2 %, l'évolution du capital année après année est donnée par ce script :
 
<source lang="python">
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Le module ''cmath'' permet aussi d'étudier les suites géométriques complexes. On constate alors que si le module de la raison est plus petit que 1, la suite tend vers 0, et si le module de la raison est supérieur à 1, la suite tend vers l'infini. C'est bien entendu lorsque le module est égal à 1 qu'il se passe les choses les plus intéressantes...
 
=== Suite de Collatz ===
 
Algorithmiquement, la [[w:Conjecture de Syracuse|suite de Collatz]] est intéressante parce que son calcul est basé sur un test de parité, et qu'elle utilise une boucle à condition de sortie :
 
<source lang="python">
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La division par 2 est une division euclidienne, en effet on souhaite que ''u'' reste entier (et non flottant) au cours de la boucle.
 
=== Suite de Fibonacci ===
==== Calcul de la suite ====
 
 
===Calcul de la suite===
 
La récurrence de la [[w:Suite de Fibonacci|suite de Fibonacci]] est double, avec <math>u_{n+1}=u_n+u_{n-1}</math>. Son calcul pose donc un problème algorithmique, puisqu'il faut trois variables (les deux termes à calculer et une variable ''tampon'' pour stocker temporairement l'un des deux termes, afin qu'il ne soit pas écrasé par la somme). Ce problème n'existe pas en ''Python'' qui permet les affectations simultanées.
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</source>
 
==== Nombre d'Or ====
 
Un problème numériquement intéressant (et c'était la motivation initiale de [[w:Fibonacci|Fibonacci]]) est d'étudier le comportement du rapport entre deux termes successifs de la suite de Fibonacci :
 
<source lang="python">
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</source>
 
On constate la convergence vers le [[{{w:Nombre d'or|nombre d'Or]]or}}.
 
=Suites définies par des sommes=