« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Plan de phase » : différence entre les versions

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l'une , pas trop difficile est celle de la relativité restreinte(1905).
l'autre , la mécanique quantique( 1926) qui fera exploser cette notion d'orbite dans l'espace des phases en la remplaçant par des cheminements qui interfèrent, pour le dire vite.
 
==Exercices==
Il y a évidemment des dizaines d'exercices sur le plan de phase , c'est à dire la résolution de d²x/dt² = g(x) ou ce qui est équivalent Ec + V(x) = Eo.
On peut même dire un peu plus : plus on saura décrire les solutions dans le plan de phase , et plus on aura de maîtrise des équations différentielles.
En particulier, il convient de maîtriser l'équation de Liénard :
 
===équation de Liénard===
 
d²x/dt² = g(x) - f(dx/dt) ou v.dv/dx = g(x) -f(v).
A supposer qu'il existe une orbite fermée, il apparaît que somme sur l'orbite de -f(v) doit être nulle : cela donne un critère très puissant, puisque par ailleurs les orbites ne peuvent se couper.
 
Si de plus g(x) = -x , v ne change pas le long de la courbe (C) x + f(v)=0 qu'il est donc intéressant de tracer ( les tangentes à l'orbite y sont horizontales); mais on peut dire plus : à droite de la courbe, v² diminue, et on peut donner la règle qui mène de M au point M' voisin et donc avoir une intuition assez précise de la forme de la courbe. Montrer que cette règle est la suivante: du point M tracer l'horizontale qui coupe (C) en L (point de Liénard); soit l'abscisse H du point L : alors MM' est perpendiculaire en M à HM.
 
=== Oscillateur à frottement solide===
Appliquer la méthode de Lienard à -f(v) = -a sgn(v).
 
==== Solution====
si a était nul , on trouverait x = Xo cos(t) et v = -Xo sin(t) , c'est à dire l'oscillateur de pulsation unité.
 
S'il y a frottement a , la construction de Liénard montre immédiatement que les demi-cercles du demi-plan x >0 (resp x<0)sont centrés en A' (-a,0) (resp: A(a,0)).
 
le tracé au compas s'en déduit, et s'arrête quand M se trouve dans le segment A'A : l'amplitude a diminué de 2a à chaque demi-oscillation : donc l'amplitude décroît linéairement avec le temps, ce qui est manifestement différent du cas -f(v) = -v/Q (oscillateur linéairement amorti): dans ce cas, le tracé qualitatif montre une orbite autosimilaire entre un point d'intersection haut L et un point bas L': la courbe ressemble donc à un escargot qui s'enroule vers le point O , ceci si Q est assez élevé : ceci sera retrouvé, dans l'étude des oscillateurs harmoniques amortis.
 
=== Chute libre avec résistance de l'air ===
L'existence des parachutes ( et l'expérience de ceux-ci date de bien avant Galilée) montre bien l'inanité de la loi z= 1/2.g.t².
Quand un objet tombe dans l'air, outre le fait de décompter la légère poussée d'Archimède, il faut surtout "intuiter" la loi de Reynolds : celui-ci indiqua que pour une forme donnée et une texture de contact identique, alors la masse ou la densité du corps n'intervenait pas , et ce qu'il importait c'était de "fendre l'air" au mieux, pour une section apparente ( on parle du maître-couple S en m²) donnée : la résistance était alors du type : -Cx.a .S.v² , avec a la masse volumique de l'air et le Cx le coefficient dit aérodynamique du corps ( on a tous vu des casques de vélo!). Typiquement pour une sphère, Cx = 0.25 ; mais attention, pour une balle de golf alvéolée, il n'en va pas de même ! Idem des samares , ou des splendides fleurs de pissenlit: les regarder remplit d'émerveillement.
les parachutes sont différents des parapentes , et le faucon différent de la buse.Etc. Par ailleurs la loi n'est pas rigoureuse, car si v devient très grand , il faut modifier le Cx!
 
Néanmoins pour faire bref nous considèrerons ici seulement l'équation :
 
d²x/dt² = g - k.v² : on appellera g/k = Vo² et la droite de Liénard sera v= Vo : Si le mobile part plus vite que Vo , il ralentira , jusqu'à cette valeur limite. Si le mobile part moins vite, il augmentera sa vitesse jusqu'à cette limite.
 
====Solution====
L'équation à résoudre est donc :
1/2 d(v²)/dx = g (1- v²/Vo²) ; Bien sûr , il apparaît naturel de mesurer x en fonction du paramère Vo²/g , ce qui ramène à 4dX/du = 2/(1-u²)= 1/(1+u) + 1/1-u, dont la primitive est connue : 4X = Ln (1+u)/(1-u) (avec u := v²/Vo²) : ce qui permet de tracer l'orbite.
 
On peut aussi vouloir l'échelle temporelle : on résout de même :
 
dV/dt' = (1-V²) en ayant pris t' = gt/Vo : d'où t' = 1/2 Ln(1+V)/(1-V), soit V = tanh( t') et puis X = Ln(cosh(t') : bien sûr , il faut vérifier qu'au début du mouvement v = gt et x = 1/2 .g.t² !
 
Du point de vue expérimental, tout dépendra donc de la précision voulue. Voici une méthode qui ne donne pas de mauvais résultats : changer de balle pour un même rayon ; changer l'air en gaz carbonique ou en hexafluorure de soufre dans le tube de Newton. On procède par la méthode de la dérivée discrète et on élimine le kv² : on recouvre ainsi une assez bonne valeur de g.
 
=== Exercice: montée puis chute===
On lance la balle avec la vitesse Vo vers le haut. Elle intercepte un premier faisceau lumineux horizontal puis au retour le même : durée T2 . Un peu plus haut elle a intercepté un deuxième faisceau : durée T1. La distance entre les faisceaux est d :
trouver la valeur de g
 
====Solution montée puis chute====
Si kv² est nul , la réponse est aisée : si on se place au point le plus haut , d1= 1/2 g (T1/2)², idem d2 : donc g = 8d/(T1²-T2²).
Si on ne néglige plus kv² , il faut être prudent et écrire -kv².sgn(v) : l'équation différentielle à la montée n'est PLUS la même! C'est piègeux .
 
dv/dt = -g (1 +k v²) donnera en coordonnées réduites : dV/dt' = -(1+V²) , V fera donc intervenir tan (t')et non plus tanh (t'). Et la formule décrite devient grossièrement fausse , car la montée et la descente ne mesurent pas des g-apparents que l'on pourrait déduire facilement.
 
Une question délicate est: la balle met-elle plus ou moins de temps que Vo/g à descendre? On pris entre deux arguments contraires : certes elle va moins vite, mais elle descend de moins que zo = Vo²/2g !
Enfin , signalons ce résultat assez surprenant dans le cas de chute d'une sphère de masse M dans un superfluide ( donc de viscosité nulle): on peut oublier le superfluide et rajouter à M , la masse du fluide soit -a.(4/3)R. Pi.R² .dv/dt : ce joli résultat est dû à Greene vers 1838 : c'est un des premiers résultats de Renormalisation avant la lettre.