« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Plan de phase » : différence entre les versions
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l'oscillation n'est pas en général harmonique. Il est usuel de poser:
<math> v^2(s) = 2g(H − h(s)): = (s^2 − a^2(H))
<math>t= \int_0^{\phi}\frac{du}{N[a(H)cos(u)]}</math>
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la fonction N(s) (en Hertz) étant généralement bornée:N1 < N < N2 , alors T2 < T(H) < T1.
soit la décomposition en série de Fourier de s(t):
<math>s(t)= \Sigma b_n cos [\frac{2\pi n t}{T(H)}]</math>, le taux d'harmoniques est pratiquement non décroissant jusqu'à une valeur \aleph_0(H), puis s'écroule exponentiellement (donc très vite),dès que n > \aleph_0(H) : cela est essentiellement dû au caractère indéfiniment dérivable de s(t), c'est à dire à la "régularité" de la cuvette ( cf Appell, mécanique, 1915).
Alors on a évidemment la vitesse v(x) constante (au signe près), égale à sqrt( 2E/m) et la période T(E) = 2 a/sqrt(2E/m). L'analyse de Fourier de s(t), qui est une fonction "triangle", donne des coefficients qui décroissent comme 1/n^2 et non pas exponentiellement.
ces problèmes à plusieurs "fenêtres de sortie" donneront du mal à être quantifiés en mécanique quantique : c'est le problème des barrières de potentiel double , voire triple en radio-activité.
Fin de note annexe}}.
Quelques cas de cuvettes symétriques▼
▲===Quelques cas de cuvettes symétriques===
* La cuvette soliton : U(x) = -g²/ch²x▼
On trouve : x(t) = argsh [sha.sin wt] ; avec sha = sqrt[(g²+E)/(-E)] et la période T(E) = sqrt(2).Pi/ sqrt(-E)
On trouve : x(t) =arc cos (cosa .cos wt) avec cosa = sqrt(1-g²/E) et la période T(E) = sqrt(2)Pi/sqrt(E)
On trouve la période T = 4/c K(k") avec c²= 2(E-g²k²) et k" =k²(E-g²)/(E-g²k²), K(k) étant la fonction elliptique de première espèce.
On trouve la période d'oscillation T = 4/a K(k) , avec a = sqrt(E+g²) et k² = (E-g²)/(E+g²)
Détermination de h(s) gràce à l'observation de T(H)▼
▲===**Détermination de h(s) gràce à l'observation de T(H)===
Cela s'appelle résoudre un problème inverse. Landau et Lifschitz ( mécanique, ed Mir) traite ce problème difficile.▼
▲Cela s'appelle résoudre un problème inverse. Landau et Lifschitz ( mécanique, ed Mir) traite ce '''problème difficile'''.
La notion mathématique qui s'applique bien ici est la notion de dérivée fractionnaire d'ordre 1/2, dite d'Abel. En fait c'est la fonction réciproque s(h) que l'on détermine ( on a déjà vu dans le cas du pendule simple que h (et non s) est la bonne fonction inconnue, et alors on en déduit s(h(t)) ):la formule est :
<math>s(h) = \frac{1}{2\pi}\sqrt g \int_0^h \frac{T(H)dH}{\sqrt{h-H}}</math> ,
dont on vérifie immédiatement l'homogénéité s= sqrt(gHo)To. Voir ci-dessous la démonstration.
===Expérimentation===
Ayant récupéré la courbe T(H) expérimentalement, il n'est pas trop difficile sur une calculette de programmer la courbe précedente s(h). C'est en principe ce qui termine un Travail Pratique expérimental. Le soin à apporter au tracé de T(H) n'est pas trop crucial, mais on a parfois des surprises!
quelques vérifications de cas connus▼
▲===quelques vérifications de cas connus===
* la cuvette de Torricelli ( cf diagramme horaire)avec T=4sqrt(2H/gsinα: s= h/sinα.▼
* la cycloïde isochrone : s(h) telle que s^2(h) = 16 a h.▼
* et aussi toutes les cuvettes de potentiel en V(x) = x^k , qui satisfont automatiquement au théorème du viriel, dont▼
* le mouvement de Kepler : T² =a³ = 1/(-E)³ , qui donne bien U ~ -1/|s|.▼
* si on rajoute la barrière centrifuge, la cuvette est non symétrique, mais le raisonnement ( adapté)donne bien , quel que soit le moment cinétique, le résultat, U ~ -1/r.▼
* la cuvette h= Ho tan²(s/a) qui donne: gT² : = 4π².a²/(Ho+H).▼
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démonstration de la formule▼
▲===démonstration de la formule===
La primitive fractionnaire 1/2 de la dérivée f'(x) est la dérivée 1/2 de f(x) (Théorème de réciprocité d'Abel);
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mais on peut opter pour une démonstration sans l'artillerie lourde ( des dérivées fractionnaires!); voici celle empruntée à Landau (on a pris g=1) :
(penser à HM²= HA.HB, dans le triangle-rectangle AMB, inscrit dans le demi-cercle de diamètre AB : alors dx/HM = dφ ; d'où la réponse).
* remarquer que T(H) s'écrit <math>T(H) = \int_0^H \frac{s'(z)dz}{\sqrt{H-z}}</math> , et donc
* <math>T(H)/ sqrt(h-H) = \int_0^H (ds/dz) \frac{dz}{\sqrt{(h-H)(H-z)}}</math>,
soit en intégrant sur la nouvelle variable H, de 0 à h, puis en intervertissant l'ordre d'intégration , d'abord en H , puis en z, l'obtention de la formule de réciprocité d'Abel.
On pourra s'exercer avec les résultats précédents.
==Cuvettes non symétriques==
Il suffit de remarquer avec Newton que seule importe la section du puits de potentiel V(x) par la droite d'énergie E. On se ramène alors, " à la Cavalieri", à un puits de potentiel symétrique.
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Sont de ce type :
U(x) = g²(2exp(x) + exp(-2x) -3 )
U(x) = g²/sh²x -h²/ch²x
====Remarque : supersymétrie====
à compléter éventuellement
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Évidemment, il se trouve que l'oscillateur harmonique radial et l'atome de Rutherford en font partie.
====Formule de perturbation====
Très souvent en physique, le puits de potentiel est légèrement perturbé par l'adjonction d'un paramètre que l'on peut contrôler ( champ magnétique:effet Zeeman classique; champ électrique: effet Stark classique, etc.).Il est alors intéressant de savoir quelle est la nouvelle période T(H).
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La règle est la suivante :
<math>T_1(H) = - \frac{
'''Application''': la formule de Borda du pendule simple est retrouvée: En effet , les calculs montrent que <math>T_1 =T_o \cdot \frac{\theta_o^2}{16}</math>
On trouve aussi les formules du ressort mou , ou du ressort dur. On pourra aussi tester les développements limités des formules exactes des puits de potentiel précédents.
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