« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Diagramme horaire » : différence entre les versions
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Ligne 134 :
x = ct -c²/g + O(c²/gt): Einstein a raison : la particule ne peut pas être plus loin que ct.
'''Note:''' les Gens Savants auront reconnu que si on pose la "rapidité" r telle que v = c th r , alors,
c'est la rapidité qui croît linéairement r = gT avec le temps "propre" T , ce qui est conforme au principe de relativité galiléenne (il suffit de raisonner à chaque instant t dans le référentiel galiléen tangent: cette solution en effet très élégante est d'Einstein lui-même)
On constate que t = c/g sh gT/c ['''remarque:''' T fonction monotone de t est donc une échelle de temps ; c'est le grand mérite d'Einstein et de Poincaré d'avoir fait réfléchir profondément sur cette notion des différentes échelles de temps] ; et donc au bout de T = 3c/g , t = ~ c/2g exp gT/c , c'est à dire que l'horloge de la particule ralentit énormément T~ c/g Ln (2gt/c)
enfin on peut vérifier que z = c²/g [ch(gT/c) -1]
Ligne 149 :
Torricelli, lui-même, aurait tiré son chapeau devant Einstein : le principe de Relativité de Galilée continue de marcher ! mais avec une condition supplémentaire qui fait toute la beauté de la relativité restreinte : la contrainte [v < c toujours] a bouleversé la cinématique de Newton de fond en comble. Nous verrons plus tard que la théorie d'Einstein est pourtant la plus simple qui soit, compte-tenu de cette contrainte.
==Conclusion-Résumé==
Cette leçon n'apporte pas grand-chose du point de vue physique; mais évidemment du point de vue philosophique, cela a pris un temps considérable, lorsque le temps était représenté par une longueur sans unité, pour distinguer ce qui nous semble évident aujourd'hui: v= f(t) et v= g(x) et donc écrire :
<math> x(t) = \int_0^t f(u)du </math> ET <math> t = \int_0^s \frac{1}{g(x)}dx </math>
En fait, cela a pris quelques dizaines d'années après que Galilée et Cavalieri aient commencé à y réfléchir.
[Par contre, pour passer à la relativité restreinte, il a fallu qu'expérimentalement des particules commencent à avoisiner la vitesse c : dans le monde astronomique, cela n'a pas été le cas dans le système solaire ; donc on ne s'en est pas préoccupé, durant deux siècles.
Aujourd'hui, on sait même qu'il existe des trous noirs dans Notre Galaxie. L'astrophysique relativiste est un savoir nécessaire.
Mais il est clair que ce sont des geganken-chefs de gare regardant passer des gedanken-trains qui ont guidé Einstein, à partir du moment où il voulait résoudre ce paradoxe : v < c toujours !]
==Exercices==
Heureusement , les exercices ne sont pas tous du niveau de l'exemple de Bertozzi!
En voici de plus faciles, tous fondés sur la loi de Torricelli : sur une courbe située dans un plan vertical , où se déplace une perle sans frottement, la perle ne peut jamais remonter plus haut que le point de vitesse nulle, et si on part de ce point, v² = 2g h(s), quand la particule descend de h.
Nous avons déjà traité certains de ces cas dans la leçon plan-incliné.
===Exercice-vallon ===
Une perle se déplace sur une ligne horizontale sans frottement avec la vitesse Vo ; elle glisse alors dans un vallon demi-circulaire de rayon R , au point A et ressort au point B , 2R plus loin avec la même vitesse Vo ( on suppose bien sûr que les virages ont été alésés!). A-t-elle gagné ou perdu du temps ? Ceci reste-t-il vrai pour toute forme de vallon?
Le puits étant symétrique, il faut et il suffit de savoir si le temps de remontée T est supérieur à R/Vo . Or à la remontée la vitesse v(s) vaut sqrt[ Vo²+2g cos (s/R)] . Le problème se ramène donc à savoir si : <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \cdot \frac{1}{\sqrt(1 + k cos \theta} > 1 ; avec k = 2gR/V_o^2</math>
===Solution-vallon===
On verra dans la prochaine leçon-6 (plan de phase)que l'équation dx/dt = g(x) est très commune et qu'il convient de bien savoir " l'intégrer".
▲===Solution des exerccices===
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