« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Diagramme horaire » : différence entre les versions
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== Distinction v(t) et v(s) ==
Le problème n'est pas le même sur
*la vitesse en chaque lieu v(s) ou
*la vitesse à chaque moment v(t).
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Dans ce second cas( le plus facile), on trace la courbe v(t) de t=0 à to. L'aire sous la courbe donne l'espace parcouru s(to):
'''Exemple de Galilée''': si la vitesse augmente linéairement v(t) =
===Cas v(s)===
Dans ce cas, on parle de [[diagramme des espaces]] : il faut considérer que, pendant un petit chemin ds , le temps dt mis pour le parcourir est dt = ds/v(s). Il faut donc sommer tous les dt pour obtenir la durée du parcours( de s=0 à so). Il faut donc tracer 1/v(s), et prendre l'aire sous la courbe, qui cette fois sera un temps. Si l'on reprend l'exemple précédent, il faut prendre la formule de Torricelli : v(s) = sqrt(2gs); donc ds/sqrt(s) =sqrt(2g).dt ; soit après intégration :
s = 1/2 . g t² : évidemment le même résultat. Ceci dit, Galilée ne sût jamais faire ce raisonnement! Car il n'admettait pas le calcul "à la Cavalieri" ( le calculus d'aujourd'hui!).Torricelli, élève d'abord de Castelli, puis de Cavalieri, n'avait pas ces scrupules et a dépassé le Maître.
Il convient de bien faire la distinction, et souvent les jeunes enfants s'y laissent prendre:
Pierre fait le chemin aller de A à B ( AB = 10km) à la vitesse de 12km/h. Au retour, plus fatigué, il court à 8 km/h. Question: arrivera-t-il avant ou après Jacques qui court l'aller-retour à 10km/h?
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Ce raisonnement qualitatif est à bien maîtriser: la moyenne harmonique de vitesse est toujours plus petite que la moyenne arithmétique ( cf [[moyenne]]).
cet exemple est de niveau nettement plus élevé.
▲*''' Exemple relativiste de Bertozzi''' :
L'expérience fut réalisée par Bertozzi et donna les résultats escomptés par la relativité restreinte avec une précision remarquable.
v(z) est donnée par l'équation
<math>\frac{1}{\sqrt(1-v^2/c^2)} mc^2 = mc^2 +mgz</math>
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On en tire v(z), et il "ne reste plus qu'à faire" les calculs : on conseille d'utiliser la méthode graphique ou numérique; mais ceux qui possèdent plus d'habileté mathématique retrouveront les expressions suivantes :
z = c²/g( sqrt[1+(gt/c)²]-1) ET dz/dt = v(t) = gt/sqrt[1+(gt/c)²]
qui satisfont l'équation précédente dont la solution était unique : c'est donc la bonne (c'est un bon exercice de le vérifier si on sait manier les dérivées).
Que constater ? si gt/c <<1, v= gt et z = 1/2gt² : Galilée avait raison.
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c'est la rapidité qui croît linéairement r = gT avec le temps "propre" T , ce qui est conforme au principe de relativité galiléenne (il suffit de raisonner à chaque instant t dans le référentiel galiléen tangent: cette solution en effet très élégante est d'Einstein lui-même)
On constate que t = c/g sh gT/c [remarque: T fonction monotone de t est donc une échelle de temps ; c'est le grand mérite d'Einstein et de Poincaré d'avoir fait réfléchir profondément sur cette notion des différentes échelles de temps] ; et donc au bout de T = 3c/g , t = ~ c/2g exp gT/c , c'est à dire que l'horloge de la particule ralentit énormément T~ c/g Ln (2gt/c)
enfin on peut vérifier que z = c²/g [ch(gT/c) -1]
Ainsi va le monde un peu étrange des particules rapides : c'est vérifié des milliers de fois dans les accélérateurs; Einstein a simplement amélioré Galilée et Newton : la Relativité Restreinte est une réalité, banale pour qui voyage à une vitesse proche de c .
Et voici plus SPECTACULAIRE : la démonstration de Torricelli continue donc de marcher, c'est ce qu' a affirmé Einstein : quand la particule, au temps t0, a la vitesse v(t0)= gt0/sqrt[1+(gt0/c)²], à la position z(t0) = c²/g( sqrt[1+(gt0/c)²]-1), Torricelli dit : ceci est "comme rien" dans le référentiel de vitesse v(t0); je peux donc écrire dans ce référentiel V= gt' et Z = 1/2 g t'²; et ceci est exact !
mais attention!dans la cinématique d'Einstein, l'intervalle de temps t' apparaît comme un intervalle dilaté : t = t'/sqrt(1-v(t0)²/c²) ET D'AUTRE PART la formule d'addition des vitesses est légèrement changée en relativité restreinte : [v(t0) ^+^ V] vaut en fait [v(t0)+V]/(1+v(t0).V/c²), soit ici puisque V est très petite : v(t0)+ V(1- v(t0)²/c²) + ... = v(t0) + gt (1-v(t0)²/c²)^3/2 : Torricelli (-corrigé par Einstein-) trouve donc que v(t0+t)-v(t0) = gt .(1-v(t0)²/c²)^3/2 pour t très petit (devant c/g!): c'est donc écrire dv/dt = g (1-v²/c²)^3/2 , ce qui redonne en intégrant , merveille : v(t) = gt/sqrt(1+g²t²/c²), le résultat escompté!
Torricelli, lui-même, aurait tiré son chapeau devant Einstein : le principe de Relativité de Galilée continue de marcher ! mais avec une condition supplémentaire qui fait toute la beauté de la relativité restreinte : la contrainte [v < c toujours] a bouleversé la cinématique de Newton de fond en comble. Nous verrons plus tard que la théorie d'Einstein est pourtant la plus simple qui soit, compte-tenu de cette contrainte.
== Mouvement de Torricelli ==
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