« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Diagramme horaire » : différence entre les versions

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tout est à reprendre !
 
reprendre [[diagramme horaire]] dans la wikipedia
 
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En outre, il est essentiel de bien comprendre la différence entre la donnée de v= f(t) ou de v=g(s).
Sommaire
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* 1 Croisements
o 1.1 *Le TGV
o 1.2 *Le jonglage
o 1.3 les trains de Foucault
* 2 Distinction v(t) et v(s)
o 2.1 Cas v(t)
o 2.2 Cas v(s)
* 3 Mouvement de Torricelli
* 4 Mouvement de Kepler selon Leibniz
* 5 Voir aussi
 
== Croisements ==
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===*'''Le TGV'''===
Croisements
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c'est un * Exempleexemple classique:
*Le TGV
le TGV fait Paris-Marseille en 3H 05min avec 05 min
d'arrêt à Avignon;
 
c'est un exemple classique:et le TGV fait Marseille-Lyon-Paris-Marseille en 3H 05min10min avec 05 min d'arrêt à Avignon;10min
d'arrêt à Lyon.
 
On se demande où et quand se croisent le train T1 et le train T2 sachant que T1 part à 15H et T2 part à 16H.
et le TGV Marseille-Lyon-Paris en 3H 10min avec 10min d'arrêt à Lyon.
train T2 sachant que T1 part à 15H et T2 part à 16H.
 
'''Réponse''': le diagramme montre que les arrêts ne jouent aucun rôle dans
On se demande où et quand se croisent le train T1 et le train T2 sachant que T1 part à 15H et T2 part à 16H.
ce problème : les trains se croisent donc à 17H, à Valence, ville telle que
Paris-Valence=480km, Valence-Marseille=240km.
 
Il existe multitude de problèmes de même sorte dans les recueils de préparation au Certificat d'Études Primaires.
Réponse: le diagramme montre que les arrêts ne jouent aucun rôle dans ce problème : les trains se croisent donc à 17H, à Valence, ville telle que Paris-Valence=480km, Valence-Marseille=240km.
préparation au Certificat d'Études Primaires.
 
=== *'''Le jonglage''' ===
Il existe multitude de problèmes de même sorte dans les recueils de préparation au Certificat d'Études Primaires.
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*Le jonglage
 
Un cas un peu plus difficile est celui-ci:
 
Un jongleur lance verticalement la balle B1 qui monte à la hauteur H.
 
De l'autre main , il lance la balle B2 d'un mouvement identique, juste au moment où la balle B1 commence à redescendre:
 
où se croisent les balles?
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La réponse est : à (3/4) H car le croisement aura lieu à la moitié du temps de descente de la balle B2 (il suffit de tracer les 2 diagrammes horaires, pour s'en assurer).
 
La cinématique du [[jonglage]] est un joli exercice de permutation entre les différents mouvements de mains et de balles.
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=== les trains de Foucault ===
 
Cet exemple est célèbre, car il permet de voir "tourner la Terre" (cf [[pendule de Foucault]]), sans regarder les étoiles, mais simplement en regardant un phénomène cinématique interne au référentiel Terre. Pour simplifier l'explication, nous supposerons l'expérience faite au pôle Sud S: sur deux voies circulaires, centrées sur l'axe des pôles, circulent deux scooters des neiges de même vitesse angulaire ABSOLUE,ωo<math>\omega_o</math> (par rapport aux étoiles, par conséquent), mais l'un vers l'Est et l'autre vers l'Ouest. Ils se croisent en un point qui dérive continuellement vers l'Est, et qui fait 15° par heure, c'est à dire un tour par jour. Pour s'en convaincre, refaire le raisonnement en Arctique, au pôle Nord. D'autre part, les traces des 2 scooters ne seront pas les mêmes, car, par rapport au sol de la Terre qui tourne, leur vitesse n'est pas la même :
 
<math>\omega_1 : = \omega_o + \Omega_T ; \omega_2 : = \omega_o - \Omega_T</math>
ω1: = ωo + ΩT;ω2: = ωo − ΩT
 
 
[Apparté:Complément de plaidoyer en faveur de Galilée :
 
[Apparté'''Aparté:Complément de plaidoyer en faveur de Galilée''' :
Évidemment , on peut reprendre le même raisonnement à l'équateur. Dans le cas balistique, il est clair qu'envoyer , par rapport à la Terre, un obus vers l'Est avec la vitesse 8.2km/s lui permet de décoller (certes péniblement : ). Envoyé vers l'Ouest, ce même obus s'écraserait au sol. La différence de vitesse +/- 464m/s fait la différence. En appliquant les formules de Kepler, le calcul donne :
 
vers l'Est, ellipse de grand axe 2a = 2R.(1.32), soit une apogée à une altitude H =0.64 . R
 
Galilée croyait que la Terre tournait: il fut condamné par l'Inquisition à abjurer le 22 juin 1633;
vers l'Ouest, ellipse de grand axe 2a = 2R.(0.814), soit un périgée à une altitude négative H = - 0.372 . R
 
ÉvidemmentOr évidemment , on peut reprendre le même raisonnement à l'équateur. Dans le cas balistique, il est clair qu'envoyer , par rapport à la Terre, un obus vers l'Est avec la vitesse 8.2km/s lui permet de décoller (certes péniblement : ). Envoyé vers l'Ouest, ce même obus s'écraserait au sol. La différence de vitesse +/- 464m0.464 km/s fait la différence. En appliquant les formules de Kepler, le calcul donne :
Il n'y a pas Equivalence des Hypothèses ! L'Église a menti effrontément très longtemps ; en fait, dès que la déviation vers l'Est fût comprise
 
vers l'Est, ellipse de grand axe 2a = 2R.(1.32), soit une apogée à une altitude H =0.64 . R
Le raisonnement dans le référentiel Terre, correctement conduit avec force centrifuge et force de Coriolis, donne le même résultat. Car on montre que vers l'Est, la force de Coriolis soulève l'obus. Vers l'Ouest, la force de Coriolis "force" sur le satellite vers le bas.
 
vers l'Ouest, ellipse de grand axe 2a = 2R.(0.814), soit un périgée à une altitude négative H = - 0.372 . R
Donc, La Grosse Bertha aurait dû tirer sur Paris à partir de Pontoise plutôt que de Meaux !
 
'''Il n'y a pas Equivalence des Hypothèses ! L'Église a menti effrontément très longtemps ; en fait, dès que la déviation vers l'Est fût comprise'''
Et Mersenne eût été plus inspiré de tirer d'une éminence son boulet vers l'Est, puis l'Ouest et de comparer ( cf boulet de Mersenne): cela a d'ailleurs été fait par Tartaglia au XVIe, mais sans théorie!
 
LePlus tard, le raisonnement dans le référentiel Terre, correctement conduitmené avec force centrifuge et force de Coriolis, donnenous donnera le même résultat. Car on montre que vers l'Est, la force de Coriolis soulève l'obus. Vers l'Ouest, la force de Coriolis "force" sur le satellite vers le bas.
En tout cas, de Kourou ou du cap Canaveral , on lance les fusées vers l'EST : autant profiter de ces 464 m/s , "offerts" par la rotation terrestre.
 
Donc, La [[Grosse Bertha]] aurait dû tirer sur Paris à partir de Pontoise plutôt que de Meaux !
Galilée croyait que la Terre tournait: il fut condamné à abjurer le 22 juin 1633; il est étrange, en 2005, de penser qu'il n'a pas su convaincre les juges de Rome de la véracité de tous ces exemples. Quoi qu'en dise Minois ( Galilée et l'église, un malentendu), l'Église a dû être prise à contre-pied dans sa contre-réforme , dominicains et jésuites unis. Gassendi, le père minime Marin Mersenne (1588-1648) et bien d'autres l'ont désavouée, mais sous le manteau.
 
Et Mersenne eût été plus inspiré de tirer d'une éminence son boulet vers l'Est, puis l'Ouest et de comparer ( cf [[boulet de Mersenne]]): cela a d'ailleurs été fait par Tartaglia au XVIe, mais sans théorie!
Fin d'apparté ]
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En tout cas, de Kourou ou du cap Canaveral , on lance les fusées vers l'EST : autant profiter de ces 464 m/s , "offerts" par lale rotationpivotement terrestre.
Distinction v(t) et v(s)
 
Galilée croyait que la Terre tournait: il fut condamné à abjurer le 22 juin 1633; ilIl est étrange, en 2005, de penser qu'ilque Galilée n'aait pas su convaincre les juges de Rome de la véracité de tous ces exemples. Quoi qu'en dise Minois ( Galilée et l'église, un malentendu), l'Église a dû être prise à contre-pied dans sa contre-réforme , dominicains et jésuites unis. Gassendi, le père minime [[Marin Mersenne]] (1588-1648), et bien d'autres certes, l'ont désavouée, mais sous le manteau. Descartes, très lâchement, ne fera pas connaître sa position, une fois Galilée condamné.
Le problème n'est pas le même sur la route, si on relève
 
'''Fin d'aparté''' ]
* la vitesse en chaque lieu v(s) ou
* la vitesse à chaque moment v(t).
 
* 2== Distinction v(t) et v(s) ==
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Le problème n'est pas le même sur la route, si on relève
* la vitesse en chaque lieu v(s) ou
* la vitesse à chaque moment v(t).
 
===Cas v(t)===
 
Dans ce second cas( le plus facile), on trace la courbe v(t) de t=0 à to. L'aire sous la courbe donne l'espace parcouru s(to):
 
'''Exemple''': si la vitesse augmente linéairement v(t) = at , le déplacement sera s(to) = to*ato/2 (aire du triangle rectangle); soit s(t0) = 1/2 a to^2: le mouvement est dit uniformément accéléré.
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===Cas v(s)===
 
Dans ce cas, on parle de [[diagramme des espaces]] : il faut considérer que, pendant un petit chemin ds , le temps dt mis pour le parcourir est dt = ds/v(s). Il faut donc sommer tous les dt pour obtenir la durée du parcours( de s=0 à so). Il faut donc tracer 1/v(s), et prendre l'aire sous la courbe, qui cette fois sera un temps.
 
 
 
* Exemple classique:
*''' Exemple classique''':
 
Pierre fait le chemin aller de A à B ( AB = 10km) à la vitesse de 12km/h. Au retour, plus fatigué, il court à 8 km/h. Question: arrivera-t-il avant ou après Jacques qui court l'aller-retour à 10km/h?
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La réponse est: Pierre arrive après Jacques; en effet il a couru moins d'une heure à 12km/h et plus d'une heure à 8km/h, donc sa moyenne de vitesse est inférieure à 10km/h.
 
Ce raisonnement qualitatif est à bien maîtriser: la moyenne harmonique de vitesse est toujours plus petite que la moyenne arithmétique ( cf [[moyenne]]).
 
* '''Exemple de Torricelli''':
 
v(s) = sqrt( 2gs). L'aire sous la courbe 1/sqrt(2gs) est sqrt(2so/g), donc le temps de parcours to est tel que s(to) = so = 1/2 g to^2 . Historiquement, le premier à faire ce calcul est [[Evangelista Torricelli]] ( de Motu 1641). Il s'agit bien entendu encore du mouvement uniformément accéléré. Galilée avait hésité à utiliser une courbe qui partait de l'infini au départ. Torricelli, élève d'abord de Castelli, puis de Cavalieri, n'avait pas ces scrupules et a dépassé le Maître.
 
*''' Exemple relativiste de Bertozzi''' :
 
cet exemple est de niveau nettement plus élevé. '''C'est la modification en relativité restreinte de l'exemple de Torricelli'''. On ne s'étonnera point que, au début du mouvement, le résultat soit voisin de celui de Torricelli, mais qu'à la fin du mouvement, v reste limitée par la vitesse-limite c.
 
L'expérience fut réalisée par Bertozzi et donna les résultats escomptés par la relativité restreinte avec une précision remarquable.
 
v(z) est donnée par l'équation, dite théorème d'énergie cinétique d'Einstein :
 
<math>\frac{1}{\sqrt(1-v^2/c^2)} mc^2 = mc^2 +mgz</math>
 
On en tire v(z), et il "ne reste plus qu'à faire" les calculs : on conseille d'utiliser la méthode graphique ou numérique; mais ceux qui possèdent plus d'habileté mathématique retrouveront les expressions suivantes :
 
z = c²/g( sqrt[1+(gt/c)²]-1) ET dz/dt = v = gt/sqrt[1+(gt/c)²]
 
qui satisfont l'équation précédente dont la solution était unique : c'est donc la bonne (c'est un bon exercice de le vérifier si on sait les dérivées).
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Que constater ? si gt/c <<1, v= gt et z = 1/2gt² : Galilée avait raison.
 
Mais si t devient grand devant c/g, v sature à la vitesse-limite c et
 
x = ct -c²/g + O(c²/gt): Einstein a raison : la particule ne peut pas être plus loin que ct.
 
Note: les Gens Savants auront reconnu que si on pose la "rapidité" r telle que v = c th r , alors,
 
c'est la rapidité qui croît linéairement r = gT avec le temps "propre" T , ce qui est conforme au principe de relativité galiléenne (il suffit de raisonner à chaque instant t dans le référentiel galiléen tangent: cette solution en effet très élégante est d'Einstein lui-même)
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enfin on peut vérifier que z = c²/g [ch(gT/c) -1]
 
Ainsi va le monde un peu étrange des particules rapides : c'est vérifié des milliers de fois dans les accélérateurs; Einstein a simplement amélioré Galilée et Newton : la Relativité Restreinte est une réalité, banale pour qui voyage à une vitesse proche de c .
 
Mais il est peu probable que les aiguilleurs de trains aient jamais à se servir de ces formules!
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== Mouvement de Torricelli ==
 
C'est historiquement le premier cas de mouvement périodique, pouvant théoriquement constituer une HORLOGE. Mais Torricelli n'en considérait pas la réalisation pratique: seul le phénomène mathématique l'intéressait.
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Expérimentalement, Galilée opérait sur deux plans inclinés formant un V; pour des raisons pratiques, le coin est alésé, et il vaut mieux prendre un boulet lourd qui roule sans glisser, avec une faible résistance au roulement. On peut "tricher", pour compenser le léger amortissement, en inclinant en cadence le chemin de roulement en V, de manière que S1 reste le même.
 
Si une bille rebondissait de manière élastique sur une raquette parfaite, on aurait exactement le même type d'horloge, à condition de contrôler le mouvement de la raquette (cf Problème de Fermi-Ulam [[chaos contrôlé ]]).
 
Ceci est un exemple très simple de mouvement dans un [[puits de potentiel]]
 
* 4== Mouvement de Kepler selon Leibniz ==
 
C'est un cas très célèbre de mouvement dans un [[puits de potentiel]].
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Mouvement de Kepler selon Leibniz
 
C'est un cas très célèbre de mouvement dans un puits de potentiel.
 
Dès 1689, Leibniz a su comprendre le mouvement radial d'un satellite en écrivant SON équation de l'énergie cinétique ( à l'époque, on disait équation des forces vives) :
 
<math>m \ddot{r} = -\frac{mgR^2}{r^2} + \frac{L_o^2}{mr^3}</math>
 
soit après intégration ( on multiplie par v des 2 côtés et on intègre par rapport au temps) :
 
<math>E_0 = \frac{1}{2} m \cdot \dot{r}^2 + \frac{C^2}{2mr^2} - \frac{mgR^2}{r}</math>
 
Il s'agit donc du mouvement dans un [[puits de potentiel]] U(r), si Eo est négative.
 
Les limites de ce puits s'appellent SP = r minimum = distance périgée et SA = r maximum = distance apogée, racines de l'équation U(r) = Eo.
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Soit Lo²/2m (1/r)² - mgR² (1/r) - Eo = 0 , équation du second degré en 1/r :
 
Leibniz remarqua immédiatement que la demi-somme 1/2(1/SA +1/SP) , appelée moyenne harmonique et égale à 1/p est indépendante de Eo (règle 1 de Leibniz),
et que la somme (SA +SP) = 2a était indépendante de Lo (règle 2 de Leibniz) : cf [[mouvement keplerien]].
 
L'équation réécrite avec 2a et p devient :
 
U(r)/m - Eo/m = Lo²/2m² (1/r² - 2/pr + 1/pa) = -1/2 (dr/dt)².
 
L'"astuce" usuelle dans ce genre de problème est de considérer la variable phi telle que r= a -c.cosφcos<math>\phi</math> , phi variant de 0 à Pi en passant du périgée à l'apogée. Alors l'intégration est beaucoup plus facile , et donne la célèbre équation de Kepler :
 
<math>\omega t = \phi - e \cdot\sin\phi</math>
 
En exprimant la fonction réciproque, on obtient phi(t) et donc r(t). (cf [[mouvement keplerien]]). Ici ω<math>\omega</math> représente la pulsation du mouvement périodique dans le puits. On retrouve la troisième loi de Kepler :
 
<math>\omega^2 \cdot a^3 = gR^2</math> , indépendante de l'excentricité de la trajectoire elliptique décrite.
 
L'équation donnant l'angle polaire se trouve via l'intégration de la deuxième loi de Kepler :
 
<math> C = \frac{\pi a b}{T} = r^2\dot{\theta}</math>