« Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Plan de phase » : différence entre les versions
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Leçon : diagramme des espaces; plan de phase
Il s'agit ici de faire comprendre , à travers des exemples sur une droite x'Ox, que la donnée de [x0,v0] et de la règle donnant [x(t+dt);v(t+dt)]= f( [x(t);v(t)],t) est l'algorithme fondamental de la dynamique.
== Mouvement de Torricelli(1608-1647) ==
C'est historiquement le premier cas de mouvement périodique, pouvant théoriquement constituer une HORLOGE. Mais Torricelli n'en considérait pas la réalisation pratique: seul le phénomène mathématique l'intéressait (de Motu, 1641).
Il s'agit du cas: v^2(z) = Vo^2-2.g.|z|.
Prendre le cas où au temps initial, le mobile M se trouve en z=0, avec la vitesse +V0 : il se dirigera vers le haut jusqu'à ce que z = H1 = sqrt( Vo^2/2a). Ce parcours aura pris le temps t1 = V0/2g = sqrt(2H1/g).
Mais le mobile ne s'arrête pas là, comme l'a bien analysé Galilée. L'accélération restant négative, le mobile repart dans l'autre sens, avec la même vitesse aux mêmes points: donc c'est juste le même mouvement mais en sens inverse , et le mobile se retrouve à l'origine au temps 2t1, avec la vitesse -Vo. Il refait ainsi vers le bas exactement ce qui s'est passé vers le haut.Puis , il y a rebond élastique. Au total, le mouvement est périodique de période T = 4t1.
Expérimentalement, Galilée opérait sur deux plans inclinés formant un V; pour des raisons pratiques, le coin est alésé, et il vaut mieux prendre un boulet lourd qui roule sans glisser, avec une faible résistance au roulement. On peut "tricher", pour compenser le léger amortissement, en inclinant en cadence le chemin de roulement en V, de manière que S1 reste le même.
Si une balle rebondissait de manière élastique sur une raquette parfaite, on aurait exactement le même type d'horloge, à condition de contrôler le mouvement de la raquette (cf Problème de Fermi-Pasta-Ulam [[chaos contrôlé ]]).
Ceci est un exemple très simple de mouvement dans un [[puits de potentiel]]
== Mouvement de Kepler selon Leibniz(1689) ==
C'est un cas très célèbre de mouvement dans un [[puits de potentiel]].
Dès 1689, Leibniz a su comprendre le mouvement radial d'un satellite en écrivant SON équation de l'énergie cinétique ( à l'époque, on disait équation des forces vives) :
<math>m \ddot{r} = -\frac{mgR^2}{r^2} + \frac{L_o^2}{mr^3}</math>
soit après intégration ( on multiplie par v des 2 côtés et on intègre par rapport au temps) :
<math>E_0 = \frac{1}{2} m \cdot \dot{r}^2 + \frac{C^2}{2mr^2} - \frac{mgR^2}{r}</math>
Il s'agit donc du mouvement dans un [[puits de potentiel]] U(r), si Eo est négative.
Les limites de ce puits s'appellent SP = r minimum = distance périgée et SA = r maximum = distance apogée, racines de l'équation U(r) = Eo.
Soit Lo²/2m (1/r)² - mgR² (1/r) - Eo = 0 , équation du second degré en 1/r :
Leibniz remarqua immédiatement que la demi-somme 1/2(1/SA +1/SP) , appelée moyenne harmonique et égale à 1/p est indépendante de Eo (règle 1 de Leibniz),
et que la somme (SA +SP) = 2a était indépendante de Lo (règle 2 de Leibniz) : cf [[mouvement keplerien]]dans la WP.
L'équation réécrite avec 2a et p devient :
U(r)/m - Eo/m = Lo²/2m² (1/r² - 2/pr + 1/pa) = -1/2 (dr/dt)².
L'"astuce" usuelle dans ce genre de problème est de considérer la variable phi telle que r= a -c.cos<math>\phi</math> , phi variant de 0 à Pi en passant du périgée à l'apogée. Alors l'intégration est beaucoup plus facile , et donne la célèbre équation de Kepler :
<math>\omega t = \phi - e \cdot\sin\phi</math>
En exprimant la fonction réciproque, on obtient phi(t) et donc r(t). (cf [[mouvement keplerien]]). Ici <math>\omega</math> représente la pulsation du mouvement périodique dans le puits. On retrouve la troisième loi de Kepler :
<math>\omega^2 \cdot a^3 = gR^2</math> , indépendante de l'excentricité de la trajectoire elliptique décrite.
L'équation donnant l'angle polaire se trouve via l'intégration de la deuxième loi de Kepler :
<math> C = \frac{\pi a b}{T} = r^2\dot{\theta}</math>
== Un nouveau concept: l'Action en joule-seconde==
dans le cas de ces deux exemples, où l'orbite dans le plan de phase est périodique, chaque orbite (C(E)) est caractérisée par son énergie E qui reste constante( E = mgH1 dans le premier exemple , et E= -mgR^2/2a dans le cas de Kepler) et la période T(E) pour faire le tour de l'orbite dépend de cette orbite (C(E)). On peut aussi calculer la surface de l'aire enclose dans cette orbite <math> S(E) = \int_{C(E)} p(x)\cdot dx</math> . Cette quantité est fonction croissante de E , et l'on peut aussi bien indicer les orbites par S : on notera sans qu'il y ait ambiguité l'orbite par (C(S(E)))ou plus simplement (C(S)).
L'unité d'Action est le joule-seconde. On verra bien plus tard que toute la mécanique pourra se résumer en le "Principe de moindre Action", énoncé par Maupertuis et repris par Euler et Lagrange.
===Exercice: T = dS(E)/dE ===
Voilà quelque chose qui peut surprendre au premier abord! Du point de vue homogénéité non ; du point de vue du signe non plus , puisque plus l'aire enclose est grande et plus E est grande , donc T est positive!
Dans le cas qui nous préoccupe l'orbite est symétrique p/-p , donc <math> S(E) = 2\int_{x=a}^{x=b} p(x)\cdot dx</math> avec p= sqrt[ 2m(E-V(x))], dont la dérivée par rapport à E est p.dp/dE =m ; soit donc dp/dE = m/p = 1/v(x). Donc <math> dS(E)/dE = 2\int_{x=a}^{x=b} \frac{1}{v(x)} dx</math> . On reconnaît la période du diagramme des espaces aller-retour dans un puits de potentiel, soit T(E).
== annulé!==
reprendre l'article de la wikipedia sur [[diagramme des espaces]] dans diagramme horaire.
Dans ce cas, on parle de diagramme des espaces : il faut considérer que, pendant un petit chemin ds , le temps dt mis pour le parcourir est dt = ds/v(s). Il faut donc sommer tous les dt pour obtenir la durée du parcours( de s=0 à so). Il faut donc tracer 1/v(s), et prendre l'aire sous la courbe, qui cette fois sera un temps.
* Exemple classique:
Pierre fait le chemin aller de A à B ( AB = 10km) à la vitesse de 12km/h. Au retour, plus fatigué, il court à 8 km/h. Question: arrivera-t-il avant ou après Jacques qui court l'aller-retour à 10km/h?
La réponse est: Pierre arrive après Jacques; en effet il a couru moins d'une heure à 12km/h et plus d'une heure à 8km/h, donc sa moyenne de vitesse est inférieure à 10km/h.
Ce raisonnement qualitatif est à bien maîtriser: la moyenne harmonique de vitesse est toujours plus petite que la moyenne arithmétique ( cf moyenne).
* Exemple de Torricelli:
v(s) = sqrt( 2gs). L'aire sous la courbe 1/sqrt(2gs) est sqrt(2so/g), donc le temps de parcours to est tel que s(to) = so = 1/2 g to^2 . Historiquement, le premier à faire ce calcul est Evangelista Torricelli ( de Motu 1641). Il s'agit bien entendu encore du mouvement uniformément accéléré. Galilée avait hésité à utiliser une courbe qui partait de l'infini au départ. Torricelli, élève d'abord de Castelli, puis de Cavalieri, n'avait pas ces scrupules et a dépassé le Maître.
* Exemple relativiste de Bertozzi :
cet exemple est de niveau nettement plus élevé. C'est la modification en relativité restreinte de l'exemple de Torricelli. On ne s'étonnera point que, au début du mouvement, le résultat soit voisin de celui de Torricelli, mais qu'à la fin du mouvement, v reste limitée par la vitesse-limite c.
L'expérience fut réalisée par Bertozzi et donna les résultats escomptés par la relativité restreinte avec une précision remarquable.
v(z) est donnée par l'équation, dite théorème d'énergie cinétique d'Einstein :
\frac{1}{\sqrt(1-v^2/c^2)} mc^2 = mc^2 +mgz
On en tire v(z), et il "ne reste plus qu'à faire" les calculs : on conseille d'utiliser la méthode graphique ou numérique; mais ceux qui possèdent plus d'habileté mathématique retrouveront les expressions suivantes :
z = c²/g( sqrt[1+(gt/c)²]-1) ET dz/dt = v = gt/sqrt[1+(gt/c)²]
qui satisfont l'équation précédente dont la solution était unique : c'est donc la bonne (c'est un bon exercice de le vérifier si on sait les dérivées).
Que constater ? si gt/c <<1, v= gt et z = 1/2gt² : Galilée avait raison.
Mais si t devient grand devant c/g, v sature à la vitesse-limite c et
x = ct -c²/g + O(c²/gt): Einstein a raison : la particule ne peut pas être plus loin que ct.
Note: les Gens Savants auront reconnu que si on pose la "rapidité" r telle que v = c th r , alors,
c'est la rapidité qui croît linéairement r = gT avec le temps "propre" T , ce qui est conforme au principe de relativité galiléenne [il suffit de raisonner à chaque instant t dans le référentiel galiléen tangent: cette solution (en effet très élégante!) est d'Einstein lui-même].
On constate que t = c/g sh gT/c et donc au bout de T = ~3c/g , t = ~ c/2g exp gT/c , c'est à dire que l'horloge de la particule ralentit énormément T~ c/g Ln (2gt/c)
enfin on peut vérifier que z = c²/g [ch(gT/c) -1]
Ainsi va le monde un peu étrange des particules rapides : cela vérifié des milliers de fois dans les accélérateurs; Einstein a simplement amélioré Galilée et Newton : la Relativité Restreinte est une réalité, banale pour qui voyage à une vitesse proche de c .
Mais il est peu probable que les aiguilleurs de trains aient jamais à se servir de ces formules!
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