« Approfondissements de lycée/Infini et processus infinis » : différence entre les versions

La notion de Cantor sur "la même taille" d'ensembles ne prend pas en considèrationconsidération si les nombres sont plus gros, mais s'il existe la même quantité d'objet à l'intérieur. Vous pouvez voir facilement ici qu'ils sont de même taille, parcequeparce que vous pouvez simplement compter le nombre d'éléments dans chaque ensemble. Mais avec un nombre infini d'éléments, vous ne pouvez pas, dans un temps fini, compter tous les éléments d'un ensemble pour voir s'il a le même nombre qu'un autre.

et ainsi de suite. Ils savent qu'ils auront tous les deux le même nombre de billes parcequeparce que la manière de partager l'effectuera. Même s'ils ne savent plus les nombres (s'il ne connaissent pas plus que trente, par exemple), ils pourrons encore se partager les billes avec le même procédé de "une autre pour toi et une autre pour moi".

EvidemmentÉvidemment, la réponse est oui. 1 de l'ensemble <math>\mathbb{N}\,</math> correspond à -1 de B. Comme suit :

#En utilisant l'idée de bijection, démontrer que <math>\infty + 1 = \infty</math>, qu'en est-t'il de <math>\infty + A</math> où A est un ensemble ''fini'' ? qu'en est-t'il d'<math>\infty + C</math> où C est un ensemble infini dénombrable ?

EvidemmentÉvidemment, cela dépend du nombre. Si le directeur de prison choisit un nombre naturel, alors le criminel suppose 1, le premier jour, 2, le deuxième jour et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il trouve le nombre correct. De même pour les entiers, 0 le premier jour, -1 le deuxième jour. 1 le troisième jour et ainsi de suite. Si le nombre est très grand, alors cela peut prendre un long moment pour sortir de prison mais il pourra le faire.

Ce dont à besoin le directeur de prison, c'est de choisir un ensemble qui n'est pas dénombrable de cette manière. Pensez à un axe gradué. Les entiers sont largement espacés. Il existe une quantité de nombres compris entre les entiers 0 et 5 par exemple. Donc, nous devons nous occuper d'ensemble ''plus denses''. Le premier exemple qui vient en tête à la plupart des gens est celui des fractions. Il existe un nombre infini de fractions entre 0 et 1 donc assurément, il existe plus de fractions que d'entiers ? Est-il possible de dénombrer les fractions ? Imaginons cette possibilité un instant. Si nous essayons de dénombrer toutes les fractions entre 0 et 1 puis entre 1 et 2 et ainsi de suite, nous allons être bloqués parcequeparce que nous n'aurons jamais fini de compter celles qui précèdent 1 (il en existe une infinité). Mais cela veut-il dire qu'elles sont non-dénombrables ? Pensez à la situation avec les entiers. Les ordonner ...-2, -1, 0, 1, 2, ... les rendaient impossibles à dénombrer, mais les ''réordonner'' 0, -1, 1, -2, 2, ... permettait de les compter.

En fait, il existe une manière d'ordonner les fractions pour permettre de les dénombrer. Avant d'aller plus avant, revenons à un langage mathématique normal. Les mathématiciens utilisent le terme ''nombre rationnel'' pour définir ce que nous avons appelé fractions. Un nombre rationnel est n'importe quel nombre qui peut être écrit sous la forme p/q où p et q sont des nombres entiers. Ainsi, 3/4 est rationnel comme l'est -1/2, l'ensemble des nombres rationnels est généralement noté <math>\mathbb{Q}\,</math> . Noter que <math>\mathbb{Z}\,</math> est un sous-ensemble de <math>\mathbb{Q}\,</math> parcequeparce que tout entier peut être divisé par 1, pour le rendre rationnel. C.a.d. le nombre 3 peut être écrit sous la forme p/q comme 3/1.

Comment allons-nous faire pour dénombrer <math>\mathbb{Q'}\,</math> ? Si nous essayons de dénombrer la première ligne puis la deuxième et ainsi de suite, nous échouerons parcequeparce que les lignes sont de longueurs infinies. De même, si nous essayons de compter les colonnes. Mais regardons les diagonales. Dans une direction, elles sont infinies (c.a.d. 1/1, 2/2, 3/3, ...) mais dans l'autre direction, elles sont finies. Donc, cet ensemble est dénombrable. Nous les comptons le long des diagonales finies, 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1....

# Adapter la méthode de dénombrement de <math>\mathbb{Q'}\,</math> pour montrer que <math>\mathbb{Q}\,</math> est aussi dénombrable. Comment incluerezinclurez-vous 0 et les rationnels négatifs ? Comment résoudrez-vous le problème des entrées multiples qui représentent le même nombre ?

Nous supposons que <math>a_1\,</math> prend n'importe quelle valeur de 0 à 9 inclus ''excepté'' le chiffre <math>r_{11}\,</math>. Donc, si <math>r_{11} = 3</math> alors <math>a_1\,</math> peut être 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, ou 9. Puis, nous supposontsupposons que <math>a_2\,</math> soit n'importe quel chiffre excepté <math>r_{22}\,</math> (le deuxième chiffre du deuxième nombre de la liste). Puis <math>a_3\,</math>, le troisième chiffre excepté <math>r_{33}\,</math> et ainsi de suite.

Maintenant, si ce nombre, que nous venons de construire ''était'' quelquepartquelque part dans la liste alors il serait égal à <math>\mathbb{R_{\alpha}}\,</math> (où <math>\alpha\,</math> est n'importe quel nombre). Regardons ce à quoi <math>\mathbb{R_{\alpha}}\,</math> peut être égal. Il ne peut pas être égal à <math>R_1\,</math> parcequparce qu'il possède un premier chiffre différent (<math>r_{11}\,</math> et <math>a_1\,</math>). Il ne peut pas non plus être égal à <math>R_2\,</math> parcequparce qu'il possède un deuxième chiffre différent, et ainsi de suite. En fait, il ne peut pas être égal à ''n'importe'' quel nombre de la liste becausecar il diffère par au moins un chiffre de ''tous'' ceux-là.

=== Existe-t'-il des infinis plus grands ? ===

Nous finirons le chapitre sur les ensembles infinis en jetant un coup d'oeild’œil à l''''hypothèse du continu'''. Cette hypothèse établit qu'il n'existe pas d'infini entre les nombres naturels et les nombres réels. Cantor inventa un système de nombres pour les nombres transfinis. Il appela le plus petit infini <math>\aleph_0</math>, puis le plus grand suivant <math>\aleph_1</math> et ainsi de suite. Il est facile de démontrer que le cardinal de <math>\mathbb{N}\,</math> est <math>\aleph_0</math> mais est-ce que le cardinal des réels est <math>\aleph_1</math>?

L'hypothèse est intéressante parcequparce qu'il a été démontré que "Il n'est pas possible de démontrer que l'hypothèse est vraie ou fausse, en utilisant les axiomes normaux de la théorie des ensembles".

Malheureusement, la branche mathématique appelée '''analyse''' était destinée a être très utile en mathématiques, physique, ingénierie. C'était un domaine trop utile pour l'ignorer simplement parcequparce qu'il était relié à l'infini ou aux processus infinis. Pour contourner ce problème, l'idée de ''limite'' fut inventée.

Noter que les termes de la suite deviennent de plus en plus petits lorsque leur nombre augmente. Que se passe-t'-il si nous rendons n infini ? Le terme deviendrait <math> \frac{1}{\infty}</math>

Noter que nous n'avons pas divisé 1 par l'infini et donné la réponse 0. Nous avons fais en sorte que le nombre ''n'' soit de plus en plus grand et que son inverse tende de plus en plus vers zéro. Les mathématiciens du 18ème siècle ont adoré cette idée parcequparce qu'elle évitait l'abomination de ''division par l'infini''. ''n'' reste fini tout le temps. Bien sur, on ne se préoccupe pas de l'énormité de ''n'', 1/''n'' ne sera pas ''exactement'' égal à zéro, il existe toujours une petite différence. Cette différence (ou erreur) est généralement représentée par <math>\epsilon\,</math> (epsilon).

Dans le paradoxe d'Achille et la tortue, nous imaginons le héros grec Achille dans une course à pied avec une tortue. ParcequParce qu'il est un coureur très rapide, Achille permet gracieusement à la tortue de commencer la course en tête d'une centaine de mètres. Si nous supposons que chaque coureur commence à courir à une certaine vitesse constante (une très rapide et une très lente), alors après un certain temps fini, Achille aura couru une centaine de mètres, rattrapant le point de départ de la tortue.

Pendant ce temps, la tortue a "couru" une distance (plus courte), disons un mètre. Cela prendra à Achille un temps supplémentaire de courir cette distance, pendant lequel la tortue avancera un peu plus; puis un autre temps supplémentaire pour atteindre ce troisième point, tandis que la tortue avancera. Ainsi, lorsque Achille atteindra un endroit quelquepartquelque part où la tortue a été, il lui restera encore une distance à parcourir. Par conséquent, comme le dit Zenon, Achille ne pourra jamais rattraper la tortue.