« Approfondissements de lycée/Nombres complexes » : différence entre les versions

# Calculer <math>i^{100}</math>
# Calculer <math>i^{1000}</math>
{{Solutionsolution}}
# Il suffit de constater sur la liste précédente qu'il y a une périodicité d'ordre 4 dans les puissances de <math>i</math> (en fait, cela est dû à ce que <math>i</math> est [[racine de l'unité|racine primitive quatrième de l'unité]]). Or tout entier naturel <math>n</math> se décompose d'exactement une manière en l'une des quatre formes : <math>4\,k,\, 4\,k +1,\, 4\,k+2</math> ou <math>4\,k+3</math>, avec <math>k\in\mathbb N</math>. Dans ces conditions, on a : <math>\forall k\in\mathbb N,\,i^{4\,k}=1,\;i^{4\,k+1}=i,\;i^{4\,k+2}=-1,\;i^{4\,k+3}=-i</math>.
# Pour <math>i^{25}</math>, on cherche à décomposer 25 sous cette forme, il vient <math>25=4*6+1</math>, d'où <math>k=1</math>, et <math>i^{25}=i</math>.<br />Pour <math>i^{100}</math>, il vient <math>100=4*25+0</math>, d'où <math>k=0</math>, et <math>i^{100}=1</math>.<br />Pour <math>i^{1000}</math>, il vient <math>1000=4*250+0</math>, d'où <math>k=0</math>, et <math>i^{1000}=1</math>.
# Pour <math>i^{100}</math>, il vient <math>100=4*25+0</math>, d'où <math>k=0</math>, et <math>i^{100}=1</math>.
{{Fin}}
# Pour <math>i^{1000}</math>, il vient <math>1000=4*250+0</math>, d'où <math>k=0</math>, et <math>i^{1000}=1</math>.
{{Finfin}}
 
=== Les nombres complexes comme solutions des équations quadratiques ===