« Recueil d'exercices de mécanique élémentaire/Atome d'hydrogène » : différence entre les versions

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Il y a donc juste à vérifier que c'est vrai , d'une part, et que d'autre part aucune fonction de L² ne donne une énergie aussi basse.
 
1/C'est vrai : (1s) est bien solution de l'équation de SchrodingerSchrödinger stationnaire :
 
 
{{exemple||Équation de SchrodingerSchrödinger |'''<math>- {\hbar^2 \over 2m} \vec \nabla^2 |\psi>- {e^2 \over r }|\psi> = E |\psi> </math>'''}}
 
il suffit de calculer Laplacien (exp(-r/a): cela vaut f" +2/r f'= +f/a² -2f/ar
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On doit pouvoir mémoriser ces deux formules par analyse dimensionnelle (prérequis indispensable).
 
2/. Il n'existe pas d'autre fonction que (1s) : en effet , cette fonction sature l'inégalité d'Heisenberg : toute autre donnera donc une energieénergie supérieure. Fin de démonstration.
 
==== Propriétés de cette orbitale ====
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Pourtant, on sent bien qu'il faudra corriger : Le Lithium , le Sodium , le Potassium , le Rubidium , et le Césium ne sont pas jusqu'à 6^2 plus gros en rayon . WHY ?
Les électrons intérieurs ne sentent aucune force de la part des couches externes symétriques (théorème de Gauss) et donc leur comportement est dicté par la charge du noyau +Zq.
Donc les électrons (1s) sont à la distance a/Z et leur énergie à E1 .Z² : STOP! on sort du domaine de la chimie ! simplement avec Z=10 , l'energiel’énergie est à -1360 eV ! En chimie les énergies ne dépassent jamais pas 50 eV . Ces électrons sont appelés les électrons de coeur et on ne les verra jamais.
 
Par contre, dans les atomes de Rydberg (n très élevé), les atomes sont en effet très gros, et l'ancienne théorie de Bohr se révèle à peu près correcte.
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Les iso-psi passent par un maximum en z= 2a puis forment des lobes très caractéristiques
Les iso_(psi)² donnent des courbes voisines.
La densitedensité radiale est trompeuse, puisqu'elle intégreintègre la partie angulaire et il reste seulement : [r^3.exp-r/a] à étudier : maximale donc en r= 3a
Bien sûr (2pz) est orthogonale à (1s) et à (2s).
 
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Voici le COEUR de la linéarité en mécanique quantique. Cette notion est capitale.
 
Les 4 orbitales (2s) et les 3 (2p) forment une base du niveau n= 2. Comme pour toute base , on est libre de choisir une combinaison linéaire différente , ce qui va donner une vision complètement différente des orbitales. Un exemple classique est de prendre des combinaisons dites (sp3) qui pointent vers les 4 sommets d'un tétraèdre : ces 4 solutions de l'équation de SchrodingerSchrödinger ont autant de "réalité" que les 4 autres , d'autant qu'elles aussi sont orthonormées. IL N'Y A PAS UNE DESCRIPTION UNIQUE des solutions de l'équation par niveau car ils forment une multiplicité n² :soit 4,9,16 ! On comprend vite que les chimistes doivent acquérir une certaine dextérité dans le maniement de ces hybridations.[ Heureusement, ce sont souvent les mêmes qui interviennent]
 
Description de la sp3 :
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=== l'ion H2+ ===
Si on est pressé de comprendre l'ESSENCE de la liaison chimique vue par la mécanique quantique, il suffit de montrer que deux protons peuvent s'attirer via UN électron et que le système est STABLE (contrairement à l'électrostatique (théorème de Earnshaw)).
Il s'agit de résoudre l'équation de SchrodingerSchrödinger avec deux puits de potentiel :
 
 
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Là malheureusement, il faut connaître assez de mathématiques pour savoir calculer le laplacien en coordonnées bicentriques et remarquer qu'il y a de plus une composante du vecteur excentricité qui peut aider.
 
Nous n'entrerons pas dans ces calculs: Hylleraas a le premier trouvé une solution très voisine du but (d = 1.5 a , et E = -2E1 -0.05 E1 , et la raideur k de la laisonliaison est très faible), mais après de très longs calculs.
 
==== Exercice fonction d'essai gaussienne: ====