« Approfondissements de lycée/Infini et processus infinis » : différence entre les versions

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C'est bien d'avoir de ressentir les différences de tailles des infinis de la section précédente. Mais pour être réellement sûrs, nous devons avoir une démonstration. Pour démontrer que <math>\mathbb{R}\,</math> est plus grand que <math>\mathbb{Q}\,</math>, nous utilisons une méthode classique. Nous supposons que <math>\mathbb{R}\,</math> est de même taille que <math>\mathbb{Q}\,</math> et nous arrivons à une contradiction. Pour l'exigence de la clarté, nous restreindrons notre démonstration aux nombres réels entre 0 et 1. Nous appellerons cet ensemble <math>\mathbb{R'}\,</math>. De façon claire, si nous pouvons démontrer que <math>\mathbb{R'}\,</math> est plus grand que <math>\mathbb{Q}\,</math> alors <math>\mathbb{R}\,</math> doit être plus grand que <math>\mathbb{Q}\,</math> également.
 
Si <math>\mathbb{R'}\,</math> était de la même taille que <math>\mathbb{Q}\,</math>, cela signifierait qu'il est dénombrable. Ceci veut dire que nous serions capable d'écrire sous une certaine liste, tous les éléments de <math>\mathbb{R}\,</math> (c'est ce que dénombrable veut dire, et que p1gerre n'est pas, comme nous avons fait avec tous nos ensembles infinis précédents). Considérons cette liste.
 
:<math>R_1\,</math>