« Mécanique spatiale/Les lois de l'attraction » : différence entre les versions
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typog |
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Ligne 24 :
Voici le calcul menant à l'expression de l'énergie potentielle de gravitation d'un corps de masse ''m'' à une distance ''R'' d'un corps de masse ''M'' produisant le champ de gravitation :
:
D'où :
:<math>U_\text{potentielle}=-\frac{GMm}{R}</math>
Cette formule est très apparentée à celle de l'électrostatique, qui est issue de la loi de Coulomb (qui est simplement la loi de gravitation universelle traduite en électricité). Ainsi, tous les calculs de [[w:gravimétrie|gravimétrie]] sont transposables en électrostatique et réciproquement, ce qui est une économie de pensée considérable.
Ligne 37 :
On peut démontrer que son énergie potentielle interne <math>U_{potentielle}</math> est égale à :
:<math>U_\text{potentielle}= -\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}</math>
==== Démonstration de la précédente formule ====
Nous voulons calculer l'énergie potentielle d'une coquille sphérique d'épaisseur ''dr'' située à la distance ''r''.
:<math>dU_\text{potentielle}=-\frac{G M dm}{r}</math>
Avec <math>M = \frac{4}{3}\pi R^3\rho ; dm = 4 \pi r^2 \rho dr</math>
Ligne 48 :
On construit la sphère à partir de coquilles sphériques d'épaisseur ''dr'' superposées de ''r=0'' jusqu'à ''r=R''.
:<math>dU_\text{potentielle} = -\frac{G\frac{4}{3}\pi r^3\rho 4\pi r^2 \rho dr}{r}</math>
:<math>U_\text{potentielle} = -G\frac{4}{3}4\pi^2\rho^2\int_0^R r^4dr = -G\frac{4}{3}4\pi^2\rho^2\frac{R^5}{5} = -G\frac{3}{5}\left(\frac{4}{3}\pi R^3\rho\right)\left(\frac{4}{3}\pi R^3\rho\right)\frac{1}{R} = -\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}</math>
== Histoire de la découverte de la force de gravitation ==
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