« Physique atomique/Quantité de mouvement du rayonnement » : différence entre les versions
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Ligne 8 :
==La pression de radiation==
<p align="justify">On montre (voir Cagnac tome1 pages :38-42) que la composante normale <math>P_z</math> de la pression de radiation en fonction de la densité volumique d’énergie u pour une radiation avec i comme angle d’incidence est donnée par : <math>P_z=
# '''cas d’une onde normale (i=0):''' la pression de radiation est égale à la densité d’énergie u : <math>P_z = u</math>.
# '''cas d’un rayonnement isotrope''': <p align="justify">c'est-à-dire que la radiation est une superposition d’ondes dirigés dans toutes les directions avec une énergie répartie proportionnellement à l’angle solide : il faut faire la moyenne de cos2i sur l’angle solide 2<math>\pi</math> correspondant au demi espace :<br/>
<math>P_z = u \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(i) \frac{2\pi \sin(i) }{2\pi}\,di = u \int_0^{{\pi}{2}} \cos^2(i)\cdot \sin(i)\,di=\frac{u}{3}</math><br/>
C’est cette relation qui est utilisé dans la théorie du rayonnement thermique en équilibre dans une enceinte fermée.</p>
Ligne 25 :
L’onde + paroi forme un système isolé, la règle de conservation de la quantité de mouvement donne :<br/>
<math>\overrightarrow p_\text{paroi} + \overrightarrow p_\text{onde} = \overrightarrow \text{cste}</math><br/>
Pendant une expérience de courte durée t, la variation de la quantité de mouvement de la paroi selon oz est :<br/></p>
<math>\delta pz_{paroi}=F_z t =SP_z t =
* <font color="blue">Cas d’une paroi absorbante </font>:
La paroi ayant absorbé le train d’onde incident a pris en même temps sa quantité de mouvement,<math>pz_\text{onde} = \delta pz_\text{paroi}</math><br/> .
Le faisceau lumineux incliné à l’incidence i , et qui frappe la surface S de la paroi de section droite Scos(i) ; il transporte pendant t l’énergie : W = S cos(i) uct
On déduit :<math>\delta pz_\text{paroi} =pz_\text{onde} =\frac{W}{c} \cos(i)</math>
* <font color="blue">Cas d’une paroi réfléchissante </font>:
Ligne 43 :
Le train d’onde possède initialement la quantité de mouvement <math>p_{z incidente}</math> repart de la paroi en emportant une quantité de mouvement <math> p_{z reflechie}</math> .
<math> \delta pz_\text{onde} = pz_\text{reflechi}- pz_\text{incident} = - \delta pz_\text{paroi}</math><br/>
La densité d’énergie qui règne au voisinage de la paroi est la somme des deux contributions de l’onde incidente et l’onde réfléchie. Ces deux contributions sont égales et chacune vaut la moitié du total c-à-d u/2. L’énergie apporté par le train d’onde incident pendant la durée t est donc
Nous déduisons que : <br/>
<math>pz_\text{incident} -pz_\text{reflechi}=- \delta p_\text{onde} = \delta p_\text{paroi} = 2 \frac{W}{c} cos(i)</math><br/>
Les deux cas 1. et 2. et pour un angle d’incidence i quelconque, s’interprètent totalement si l’on admet que le train d’onde transportant l’énergie W possède un vecteur quantité de mouvement : <math>\overrightarrow p_{onde}</math> de direction parallèle à la direction de propagation et de même sens et de module <math>\frac{W}{c}</math>.
Ligne 57 :
Dans le cas d’une paroi réfléchissante:<br/>
<math>\delta pz_\text{onde} = pz_\text{reflechi}-pz_\text{incident} = -\frac{W}{c} \cos(i) -\frac{W}{c} \cos(i)=-2\frac{W}{c} \cos(i)</math>
==Quantité de mouvement du photon==
Ligne 150 :
*Energie : <math>h\nu_0+m_0c^2= h\nu+\sqrt{p^2c^2+m_0^2c^4}</math><br/>
*Impulsion:<br/>
**projrté sur ox: <math>0=\frac{h\nu}{c} \sin\theta + p \sin\phi</math><br/>
**projeté sur oy: <math>\frac{h\nu_0}{c}=\frac{h\nu}{c} \cos \theta + p \cos\phi</math><br/>
On signale que la relation vectorielle de la conservation de l’impulsion montre que le mouvement se fait dans un plan, soit Oxz ce plan (plan de la figure).
Ligne 160 :
Pour cela éliminons <math>\phi</math> :<br/>
<math>
<math>
Élevons au carré chacune de ces égalités et les additionnons membre à membre
<math>p^2c^2=h^2\left(\nu_0^2+\nu^2-2\nu_0\nu \cos\theta\right)</math><br/>
Nous pouvons également calculer <math>p^2</math> à partir de la première équation :
Ligne 171 :
de ces deux dernières relations on tire :<br/>
<math>\nu_0-\nu=\frac{h}{m_0c^2} \left(1-\cos\theta\right) \nu_0 \nu</math><br/>
En divisant par <math>\nu_0\nu</math> on obtient :<br/>
<math>\frac{1}{\nu}-\frac{1}{\nu_0}= \frac{h}{m_0c^2} \left( 1-\cos \theta\right)</math><br/>
Ce qui donne<br/>
<math>\delta\lambda=\lambda-\lambda_0=\frac{h}{m_0c} \left(1-\cos\theta\right)</math><br/>
Voyons si l’écart vérifie les propriétés observées expérimentalement :
# <math>\delta\lambda</math> est positif.
# <math>\delta\lambda</math> est fonction croissante de l’angle de diffusion du photon <math>\theta</math>, puisque celui-ci ne varie que dans l’intervalle de 0 à où la fonction cosinus est monotone. On peut aussi écrire : <math>1-\cos\theta=2 \sin^2 \frac{\theta}{2}</math>.
# <math>\delta\lambda</math> est entièrement déterminé par la connaissance de l’angle <math>\theta</math> . Il est totalement indépendant de la nature du diffuseur, et aussi de la longueur d’onde <math>\lambda_0</math>. Le calcul de cet écart se ramène à celui de la constante figurant devant le facteur (1-\cos<math>\theta</math> ), ayant les dimensions d’une longueur et qu’on appelle :<br/>
longueur d'onde compton <math> \Lambda = \frac{h}{mc} = 0.02426 </math> Â . <br/>
Ligne 196 :
- <math>h\nu_0
- <math>h\nu_0
==Electron Compton==
Ligne 206 :
<math>W-m_0c^2=h\left(\nu_0-\nu\right)</math><br/>
Or on a vu que : <math>\nu_0-\nu=\frac{h}{m_0c^2} \left(1-\cos\theta\right) \nu_0\nu</math><br/>
ce qui donne : <math>\nu=\frac{\nu_0}{1+ \frac{h\nu_0}{m_0c^2} \left(1-\cos\theta\right)}</math><br/>
On déduit l’énergie cinétique de l’électron : <br/>
<math>W-m_0c^2=\frac{h\nu_0}{1+ \frac{m_0c^2}{h\nu_0\left(1-\cos\theta\right)}}</math><br/>
Nous retrouvons que l’électron ne prend qu’une part très faible de l’énergie <math>h\nu_0</math> du photon incident tant que <math>h\nu_0 << m_0c^2</math> , alors que dans le cas <math>h\nu_0 >> m_0c^2</math>, l’électron prend la majeure partie de l’énergie du photon.
D’autre part d’après les deux projections de la relation de conservation de l’impulsion on déduit :
<math>tg \phi= \frac{-\sin \theta}{\frac{\nu_0}{\nu}-\cos \theta}</math><br/>
<math>tg \phi=\frac{-\sin \theta}{\left(1-\cos \theta \right) \left(1+ \frac{h\nu_0}{m_0c^2}\right)}</math></br>
On obtient finalement : <math>tg\phi=\frac{-cotg\theta/2}{1+\frac{h\nu_0}{m_0c^2}}</math>
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