« Formulaire de mécanique » : différence entre les versions
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{{FormulesPhysique}}
== [[Cinématique]] : le rayon vecteur et ses dérivées successives ==
=== En [[coordonnées cartésiennes]] ===
:<math>\boldsymbol r =x \boldsymbol u_x + y \boldsymbol u_y + z \boldsymbol u_z</math>
<math>\overrightarrow{v}(M)=\frac{ \text{d} \overrightarrow{OM} }{ \text{d} t }=\frac{\text{d} x}{\text{d} t}\overrightarrow{u_x}+\frac{\text{d} y}{\text{d} t}\overrightarrow{u_y}+\frac{\text{d} z}{\text{d} t}\overrightarrow{u_z}</math>▼
La vitesse du point situé en '''''r''''' s'écrit
:<math>\
et l'accélération
:<math>\boldsymbol a(\boldsymbol r)=\frac{\text{d} \boldsymbol v}{\text{d} t}=\frac{\text{d}^2 \boldsymbol r}{\text{d} t^2}=\frac{\text{d}^2 x}{\text{d} t^2} \boldsymbol u_x + \frac{\text{d}^2 y}{\text{d} t^2} \boldsymbol u_y + \frac{\text{d}^2 z}{\text{d} t^2} \boldsymbol u_z</math>.
=== En [[coordonnées cylindriques]] ===
:<math>\boldsymbol r=\rho \boldsymbol u_\rho+z \boldsymbol u_z</math>
<math>\overrightarrow{v}(M)=\frac{\text{d} \overrightarrow{OM}}{\text{d} t}= \frac{\text{d} \rho}{\text{d} t}\overrightarrow{u_\rho}+\rho\frac{\text{d} \phi}{\text{d} t}\overrightarrow{u_{\phi}}+\frac{\text{d} z}{\text{d}t}\overrightarrow{u_z}</math>▼
▲:<math>\
:<math> \boldsymbol
Ces formules sont basées sur le fait que la dérivée temporelle de deux des vecteurs de base est non nulle :
▲<math> \overrightarrow{a}(M)=\frac{\text{d} \overrightarrow{v}(M)}{\text{d} t}=\frac{\text{d}^2 \overrightarrow{OM}}{\text{d}t^2}=\left(\frac{\text{d}^2 \rho}{\text{d} t^2}-\rho\left(\frac{\text{d} \phi}{\text{d} t}\right)^2\right)\overrightarrow{u_\rho}+\left(2\frac{\text{d} \rho}{\text{d} t}\frac{\text{d} \phi}{\text{d} t}+\rho\frac{\text{d}^2 \phi}{\text{d}t^2}\right)\overrightarrow{u_{\phi}}+\frac{\text{d}^2 z}{\text{d}t^2}\overrightarrow{u_z}</math>
:<math> \frac{\text{d} \boldsymbol u_\rho}{\text{d} t}=\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t} \boldsymbol u_\varphi</math>,
=== En [[coordonnées sphériques]] ===
:<math>\
▲:<math>\
:<math>\
avec:
:<math>
:<math>
:<math>a_\varphi=\left( r \frac{\text{d}^2 \varphi}{\text{d}t^2}\sin \theta +2\frac{\text{d}r}{\text{d}t} \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t}\sin \theta + 2r\frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t}\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}\cos \theta\right)</math>.▼
▲<math>a_\theta=\left( r \frac{\text{d}^2 \theta}{\text{d}t^2} +2\frac{\text{d}r}{\text{d}t} \frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}-r\left( \frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t} \right)^2\sin \theta \cos \theta\right)</math>
▲<math>a_\varphi=\left( r \frac{\text{d}^2 \varphi}{\text{d}t^2}\sin \theta +2\frac{\text{d}r}{\text{d}t} \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t}\sin \theta + 2r\frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t}\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}\cos \theta\right)</math>
== Changement de référentiel ==
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