« Formules de mécanique des fluides » : différence entre les versions
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imported>Roussel@ict.uni-karlsruhe.de Rajout des équations de Navier-Stokes pour un fluide visquex incompressible |
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Ligne 72 :
<center><math> \frac{\partial (\rho \phi)}{\partial t} + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z + p = Cte</math></center> en tout point de l'ecoulement.
==Dynamique des fluides visqueux incompressibles==
===Equations de Navier-Stokes===
Soit un écoulement incompressible de fluide visqueux dans un champ de force massique <math>\vec{f}</math>. Sa viscosité cinématique est notée <math>\nu</math> (unité SI: <math>m^2/s</math>). En un point quelconque du fluide
<math>\; M(x,y,z)</math> et à un instant quelconque <math>\; t</math>, les champs de pression
<math>\; p(x,y,z,t)</math> et de vitesse <math>\vec{v}(x,y,z,t)</math> vérifient les relations:
<center><math>\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0</math></center>
<center><math>\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p + \vec{f} + \nu \nabla^2 \vec{v}</math></center>
En coordonnées cartésiennes <math>\; (x_1, x_2, x_3)</math>, ces relations s'écrivent
<center><math>\sum_{i=1}^3 \frac{\partial v_i}{\partial x_i} = 0</math></center>
<center><math>\frac{\partial v_j}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 v_i \frac{\partial v_j}{\partial x_i} =
- \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_j} + f_j + \nu \sum_{i=1}^3 \frac{\partial^2 v_j}{\partial x_i^2}\; , \; \; j = 1,2,3</math></center>
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