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Entre deux pièces mécaniques, les efforts peuvent être transmis par des surfacescontacts surfaciques, comme dans le cas des [[Tribologie - Guidage par glissement de surfaces|guidages lisses]], ou '''par des contacts de type « linéique » ou « ponctuel »''' comme ceux que nous allons étudier ici. Les modèles les plus simples correspondant au second cas sont obtenus en mettant un cylindre ou une sphère en contact avec un plan, mais il existe bien d'autres possibilités.

* Dans le cas des contacts surfaciques, on admet généralementen général que les pièces sont quasi indéformables ; quant aux pressions de contact, elles ont des valeurs relativement limitées.

* Dans le cas des contacts linéiques ou ponctuels, en revanche, supposer les pièces indéformables seraitreviendrait admettreà queconsidérer l'airedes aires de contact est nullenulles et lades pressionpressions infinieinfinies, chosece qui est évidemment impossible. En réalité, les déformations « étalent » plus ou moins la zone de contact autour dedu la lignepoint ou dude pointla ligne théorique et les pressions sont très élevées, typiquement 50 à 100 fois plus que dans les contacts de surfaces. Commes nous le verrons, ellesces pressions peuvent même dépasser largement la [[w:limite d'élasticité|limite d'élasticité]] des matériaux en présence, sans pour autant provoquer de [[w:déformation plastique|déformations plastiques]].

Les bâtisseurs du pont Notre-Dame à Mende etou de bien d'autres ponts de pierre étaient fort habiles et leurs constructions ont souvent traversé les siècles pour nous parvenir en excellent état. Ils savaient répartir les poussées sur les appuis, même dans le cas de rives très dissymétriques comme dans notre exemple. Cependant, pour toutes les constructions de cette sorte, les forces transmises au sol restent globalement modérées et surtout, elles sont réparties sur des surfaces relativement importantes.

Il en va tout autrement pour des constructionsouvrages comme le [[w:Pont Alexandre III|Pont Alexandre III]], édifié de 1897 à 1900 par les architectes Cassien-Bernard et Gaston Cousin en collaboration avec les ingénieurs Jean Résal et Amédée Alby. L'arc en acier à trois articulations, de 107,5 m de portée et de 40 m de largeur, est très bas puisque son surbaissement (rapport hauteur/portée) est de 1/17. Au niveau des culées, les poussées sont considérables et appliquées sur des surfaces relativement petites. Il faut alors bâtir des massifs de maçonnerie capables de recevoir des pressionsforces très élevéesimportantes sur des surfaces relativement petites et de transmettre au sol, sur des surfacesétendues beaucoup plus grandes, des pressions acceptables.

L'étude des contacts localisés trouve des applications à diverses échelles, qui vont de la dizaine de m pour les massifs de maçonnerie au cm ou au mm pour les pièces mécaniques ou à quelques μm pour les contacts d'aspérités.

* B - au voisinage de la future zone de contact, leurs surfaces peuvent être assimiléesreprésentées àpar des quadriques dont les courbures sont connues,

* D - l'aire de contact est unassimilée élémentà planun très petit élément plan qui ne reçoit que des efforts normaux, donc parallèles entre eux.

* B : les quadriques sont des surfaces définies par des équations du second degré, complètes ou dégénérées, parmi lesquelles on trouve la sphère, les ellipsoïdes, les hyperboloïdes, les paraboloïdes, les cylindres de révolution (ellipsoïdes infiniment allongés) ou les plans (sphères de rayon infini). Les paraboloïdes et les plans sont comptatibles avec l'hypothèse A mais pas les sphères ni les cylindres. D'autres surfaces techniques, comme les tores que l'on trouve dans les roulements à billes oùou les flancs des dents d'engrenages, à base de développantes de cercles, seront assimilées sans trop d'états d'âme à des quadriques. Le plus gros problème posé par cette hypothèse vient en fait de la rugosité qui provoquerend unela répartition des pressions de contact très irrégulière et généralement très éloignée du modèle théorique.

Le fait que l'on reste dans le domaine des déformations élastiques permet d'appliquer le « principe de superposition » bien connu en résistance des matériaux. Au premier réseau de contraintes établi par l'application d'des efforts normaux vont en effet se superposer un second réseau provoqué par les efforts tangentiels résultant du frottement ou de l'adhérence, etpuis un troisième dû aux [[w:contrainte résiduelle|contraintes résiduelles]] dont on favorise l'apparition par des traitements mécaniques ou thermochimiques appropriés, et enfin un quatrième qui correspond aux autres sollicitations des pièces, tension, compression, flexion, torsion ... LesCes troisquatre groupes de contraintes peuvent être définis séparément puis combinés pour aboutir à l'état de charge complet des zones de contact.

Le calcul des contraintes supplémentaires dues au frottement a été conduit de diverses manières par des chercheurs comme Liu (1950), Poritzky (1966) et quelques autres. Il est extrêmement compliqué, au point d'être pratiquement inutilisable dans les situations concrètes. Cependant, des résultats synthétiques et utilisablesadaptés auaux niveaubesoins des bureaux d'études ont été publiés quelques années plus tard par Caubet, Cartier et leur équipe du Centre Technique des Industries Mécaniques (CETIM).

Le rayon R du cercle osculateur n'est autre que le '''rayon de courbure''' de la courbe au point M. Par définition, la '''courbure''' C en ce point est l'inverse dude ce rayon ; elle est nulle quand le rayon rend vers l'infini, la courbe étantdevenant alors une droite. Il est souvent utile de compter le rayon de courbure de façon algébrique pour distinguer la concavité de la convexité :

Il n'y a rien de mieux, pour tout connaitre d'une surface autour d'un point, que de la couper par des plans passant par ce point. L'intersection d'une surface par un plan passant par le point M nous donnera une courbe, que nous appellerons une '''section'''.

En tout point M non stationnaire d'une surface (S) (point autre qu'un ombilic, non situé sur une arête, un méplat, etc.) il est possible de définir le plan tangent (T) et la normale <math>\vec{n}</math>. Les plans contenant M et la normale sont appelés '''plans normaux''' en M à la surface (S), ils sont bien entendu perpendiculaires au plan tangent (T).

| '''Le nombre algébrique <math>C_n =\frac{1}{R_n}</math> est la courbure normale de la surface (S), au point M et dans la direction du plan (P).''' <br>'''En orientant positivement la normale à partir de la matière vers l'extérieur, on trouve des rayons de courbure et des courbures positifs ou négatifs selon que les surfaces sont respectivement convexes ou concaves dans la direction du plan considéré.'''

Il existe une infinité de plans normaux à une surface en un point donné mais il est facile de voir que lorsquesi le plan (P) effectue un demi-tour, toute la surface est décrite. Il en résulte que la courbure normale d'une surface autour d'un point non stationnaire M est une fonction périodique de l'angle de rotation du plan (P), avec une période égale à π. Pour certains types de points stationnaires (a priori sans intérêt en mécanique) on pourrait trouver des périodes plus petites, π/2, π/3, π/4, etc.

* que le cosinus nous donne deux angles opposés et donc deux directions symétriques par rapport aux plans principaux,

* que cette propriété n'est valable qu'au voisinage immédiat du point M, puisque le tore n'est pas une quadrique et encore moins une [[w:fr:Surface réglée|surface réglée]].

=== ... et une exemple concret pour aller plus loin ===

La possibilité du contact était-elle évidente ? Que se passerait-il si nous augmentions l'angle de 25° ? Au début, la barre tournerait librement mais bientôt, elle viendrait en contact en deux autres points sur l'anneau. Si nous cherchions à tourner encore, nous provoquerions la perte du contact au point I. Si l'anneau était une vraie quadrique, la fin de la rotation serait marquée par l'apparition d'un contact linéairelinéique mais ici, avec un tore, le maximum possible dela rotation n'est pas liélimitée àau niveau de la zone de contact mais àpar des formes extérieures plus contraignantes.