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« Photographie/Photométrie/Notion d'étendue géométrique » : différence entre les versions

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Ligne 16 :
* d la distance des deux surfaces élémentaires dΣ et dS.
 
NaturellementEn s'appuyant sur la définition de l'angle solide : <math>\mathrm d\Omega_\Sigma = \frac{\mathrm dS \cdot \cos{\alpha_S}}{d^2}</math> et <math>\mathrm d\Omega_S = \frac{\mathrm d\Sigma \cdot \cos{\alpha_\Sigma}}{d^2}</math>.
 
 
Par définition, l''''étendue géométrique''' du faisceau lumineux qui « relie » les deux surfaces élémentaires est la quantité :
 
:<math>\mathrm{d^2G2}G = \mathrm d\Sigma \cdot \cos{\alpha_\Sigma} \cdot \mathrm d\Omega_\Sigma = \frac{\mathrm d\Sigma \cdot \mathrm dS \cdot \cos{\alpha_\Sigma} \cdot \cos{\alpha_S}}{d^2} = \mathrm dS \cdot \cos{\alpha_S} \cdot \mathrm d\Omega_S.</math>
 
 
Ligne 29 :
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
|<math>L = \frac{\mathrm{d^2F2}F}{\mathrm{d^2G2}G}</math>
|-
|}
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La notion d'étendue géométrique est extrêmement féconde dans l'étude de nombreux systèmes optiques.
Elle a la propriété intéressante d'être un ''invariant optique'' :
on peut la calculer en intégrant sur la surface de la source ou sur celle du récepteur et on obtient le même résultat. On peut aussi choisir une surface de référence quelconque située entre la source et le récepteur et on obtient toujours le même résultat. De plus, la traversée d'un système optique non diffusif (lentilles et/ou miroirs) ne modifie pas l'étendue géométrique d'un fasceau, sauf pour la partie de celui-ci qui pourraît être bloqué par un diaphragme.
on peut la calculer en intégrant sur la surface de la source
ou sur celle du récepteur et on obtient le même résultat. On peut aussi
choisir une surface de référence quelconque située entre la source et le
récepteur et on obtient toujours le même résultat. De plus, la traversée
d'un système optique non diffusif (lentilles et/ou miroirs) ne modifie
pas l'étendue géométrique d'un fasceau, sauf pour la partie de celui-ci
qui pourraît être bloqué par un diaphragme.
 
L'étendue est en revanche augmentée lorsque la lumière est diffusée, par exemple en étant réfléchie par une surface mate.
exemple en étant réfléchie par une surface mate.
 
== Application à l'appareil photographique ==
 
On peut définir l'étendue géométrique d'un appareil photographique comme celle de l'ensemble des rayons de lumière qui participent à la formation de l'image. L'étendue ainsi définie dépend à la fois de l'objectif, de l'ouverture du diaphragme, et des dimensions de la surface sensible. Elle permet de calculer le flux lumineux collectée par l'appareil grâce à la relation
On peut définir l'étendue géométrique d'un appareil photographique comme
celle de l'ensemble des rayons de lumière qui participent à la formation
de l'image. L'étendue ainsi définie dépend à la fois de l'objectif, de
l'ouverture du diaphragme, et des dimensions de la surface sensible.
Elle permet de calculer le flux lumineux collectée par l'appareil grâce
à la relation
 
:<math>F = G \tau L.</math>
 
où <math>''G</math>'' est l'étendue, <math>\tau</math> le coefficient de transmission de l'objectif et ''L'' la luminance moyenne de la
scène photographiée. Cette relation montre que <math>G \tau</math> peut être interprété comme la capacité de l'appareil à collecter de la lumière. En pratique, <math>\tau</math> est rarement très différent de 1, et on peut sans grand dommage omettre ce facteur. En anglais on rencontre fréquemment l'expression « light gathering power » qui est souvent mal définie mais parfois définie clairement comme synonyme de l'étendue géométrique.
transmission de l'objectif et <math>L</math> la luminance moyenne de la
scène photographiée. Cette relation montre que <math>G \tau</math> peut
être interprété comme la capacité de l'appareil à collecter de la
lumière. En pratique, <math>\tau</math> est rarement très différent de
1, et on peut sans grand dommage omettre ce facteur. En anglais on
rencontre fréquemment l'expression « light gathering power » qui est
souvent mal définie mais parfois définie clairement comme synonyme de
l'étendue géométrique.
 
Le fait que l'objectif laisse l'étendue invariante permet de calculer celle-ci à la fois dans l'espace objet et dans l'espace image.
celle-ci à la fois dans l'espace objet et dans l'espace image.
 
=== Étendue dans l'espace objet ===
 
Dans l'espace objet, on intègre sur la surface de la pupille d'entrée et sur toutes les directions des rayons incidents. En appliquant l'approximation des petits angles (omission des cosinus) on obtient :
sur toutes les directions des rayons incidents. En appliquant
l'approximation des petits angles (omission des cosinus) on obtient :
 
:<math>G = S_p \Omega_c,</math>
 
où <math>S_p</math> est la surface de la pupille d'entrée et <math>\Omega_c</math> l'angle de champ, entendu comme un angle solide.
<math>\Omega_c</math> l'angle de champ, entendu comme un angle solide.
 
Cette relation admet une interprétation très simple : la capacité de l'appareil à collecter de la lumière est d'autant plus grande que « l'œil » de l'appareil est gros (c'est le facteur <math>S_p</math>) et qu'il voit large (<math>\Omega_c</math>).
l'appareil à collecter de la lumière est d'autant plus grande que
« l'œil » de l'appareil est gros (c'est le facteur <math>S_p</math>) et
qu'il voit large (<math>\Omega_c</math>).
 
=== Étendue dans l'espace image ===
 
On la calcule en intégrant sur la surface sensible et sur les directions des rayons frappant celle-ci. En négligeant le [[vignettage]] et en supposant la mise au point suffisamment lointaine, on obtient :
des rayons frappant celle-ci. En négligeant le [[vignettage]] et en
supposant la mise au point suffisamment lointaine, on obtient :
 
:<math>G = S_i \frac{\pi}{4 n^2},</math>
 
où <math>S_i</math> est la surface de l'image (le capteur numérique ou le film) et <math>n</math> le nombre d'ouverture. Le deuxième facteur, proportionnel à <math>\tfrac{1}{n^2}</math>, est la dépendance bien connue de la luminosité par rapport au nombre d'ouverture. Le premier facteur justifie un fait bien connu des utilisateurs de réflex numériques : les appareils à gros capteur ont un meilleur comportement en très basse lumière (haute sensibilité) que les appareils à petit capteur. C'est dû simplement au fait que les premiers arrivent à collecter plus de lumière.
où <math>S_i</math> est la surface de l'image (le capteur numérique ou
le film) et <math>n</math> le nombre d'ouverture. Le deuxième facteur,
proportionnel à <math>\tfrac{1}{n^2}</math>, est la dépendance bien
connue de la luminosité par rapport au nombre d'ouverture. Le premier
facteur justifie un fait bien connu des utilisateurs de réflex
numériques : les appareils à gros capteur ont un meilleur comportement
en très basse lumière (haute sensibilité) que les appareils à petit
capteur. C'est dû simplement au fait que les premiers arrivent à
collecter plus de lumière.
 
Il est intéressant de remarquer que ces deux formules, calculées respectivement dans l'espace objet et dans l'espace image, sont équivalentes. On peut utiliser au choix l'une ou l'autre. Ceci signifie que :
respectivement dans l'espace objet et dans l'espace image, sont
équivalentes. On peut utiliser au choix l'une ou l'autre. Ceci signifie
que :
 
* Sisi on connaît le diamètre de la pupille d'entrée et l'angle de champ, on n'a pas besoin de la taille du capteur ni de l'ouverture de l'objectif ;
* réciproquement, si on connaît la taille du capteur et l'ouverture de l'objectif, on n'a pas besoin de la pupille d'entrée ni de l'angle de champ.
 
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