« Manuel de géométrie vectorielle/Colinéarité » : différence entre les versions

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{{Exercice
{{Chapitre
| titre = Colinéarité
|titre=Colinéarité des vecteurs
| idfaculté = mathématiques
| leçon = [[Vecteur]]
| numero =3 1
| chapitre = [[Vecteur/Colinéarité|Colinéarité]]
| niveau =10 11
|précédent=[[Vecteur/Translations|Translations]]
|suivant=[[Produit scalaire dans le plan|Produit scalaire de deux vecteurs]]
}}
 
== MultiplicationPoints d'un vecteurdéfinis par unune nombrerelation réelvectorielle ==
On considère trois points A(2,0), B(2,2) et C(0,-3),
 
:dans le plan muni d'un repère <math>(O,\vec{i},\vec{j})</math>.
{{Définition|contenu=
Soit <math>\vec{u}</math> un vecteur et <math>\lambda\,</math> un nombre réel.
 
''nb : on choisira de petites unités, par exemple 0,5 cm pour une feuille A4.''
On note <math>\lambda.\vec{u}</math> le vecteur :
 
*'''1.''' Placer le point E défini depar norme: <math>\|\lambda.\vec{uAE}\|=|\lambda|.\|5\vec{uAB}-4\|vec{AC}</math>
 
'''2.''' Déterminer les coordonnées de E par le calcul.
* de même direction que <math>\vec{u}</math> si <math>\lambda\neq 0\,</math>
 
:*de'''3.''' mêmePlacer sensle quepoint F défini par : <math>\vec{uAE}</math> si <math>=2\lambda >0vec{AB}+\,frac{3}{2}\vec{AC}</math>,
 
'''4.''' Déterminer les coordonnées de F par le calcul.
:*de sens opposé à <math>\vec{u}</math> si <math>\lambda <0\,</math>
}}
 
{{Solution}}
'''Remarque''' : Si <math>\lambda =0\,</math> alors par définition <math>0.\vec{u}=\vec{0}</math>
== Alignement ==
 
Dans le plan muni d'un repère <math>(O,\vec{i},\vec{j})</math>,
 
:*deon donne sensles opposé àpoints <math>A(3,-1)\vec{u},</math> siet <math>\lambda <0C(-1,2)\,</math>.
NB : Cette définition est cohérente avec la définition de l'addition et de l'opposé,
 
:enSoient ceB senset queD partels exempleque :
 
:<math>2.\vec{uOB}=-3\vec{u}+\vec{uOA}</math>
:<math>-1.\vec{u}=-\vec{u}</math>
 
:<math>-1.\vec{uOD}=-3\vec{uOC}</math>
== Colinéarité de deux vecteurs du plan ==
 
'''1.''' Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
{{Définition|contenu=
Deux vecteurs non nuls <math>\vec{u}</math> et <math>\vec{v}</math> sont '''colinéaires'''
 
'''2.''' Soit M le milieu de [BD] et N celui de [AC]. Déterminer les coordonnées de M et N.
si ils ont même direction, ou si au moins l'un des deux est nul.
 
'''3.''' Démontrer que O, M et N sont alignés.
}}
 
{{Solution}}
NB : Le vecteur nul <math>\vec{0}</math> est donc colinéaire à tout autre vecteur.
== Combinaison linéaire ==
 
On définit trois vecteurs du plan par leurs coordonnées dans une base <math>(\vec{i},\vec{j})</math>.
{{Propriété|contenu=Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si il existe un réel <math>\lambda\,</math> tel que :
 
:<math>\vec{uv_1}=\lambda.\vecbinom{v1}{2}</math> ou bien <math>\vec{vv_2}=\lambda.binom{-3}{0}</math> <math>\vec{uv_3}\binom{-1}{-1}</math>
}}
 
'''1.''' Déterminer les coordonnées de :
== Colinéarité et alignement ==
 
:<math>\vec{w}=3\vec{v_1}-2\vec{v_2}+5\vec{v_3}\,</math>
{{Théorème|contenu=Trois points A, B et C sont alignés ssi <math>\vec{AB}</math> et <math>\vec{AC}</math> sont colinéaires}}
 
'''2.''' <math>\vec{v_1}</math> peut-il s'écrire sous la forme :
== Colinéarité et parallélisme ==
{{Théorème|contenu=Deux droites sont parallèles ssi leurs vecteurs directeurs sont colinéaires}}
 
:<math>\vec{v_1}=x\vec{v_2}+y\vec{v_3}\,</math>
== Colinéarité et coordonnées dans le plan ==
 
où ''x'' et ''y'' sont des nombres réels ?
{{Propriété|contenu=Dans le plan muni d'un repère <math>(O,\vec{i},\vec{j})</math>,deux vecteurs <math>\vec{u}(x;y)\,</math> et <math>\vec{v}(x';y')\,</math> sont colinéaires
{{Solution}}
 
si et seulement si :
 
==Alignement et colinéarité==
:<math>xy'-x'y=0\,</math>
 
}}
Soit A, B et C trois points non alignés.
 
1. Construire le point D tel que :
 
<math>\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{AB}</math>
 
2. Exprimer <math>\overrightarrow{CD}</math>en fonction de <math>\overrightarrow{CA}</math> et <math>\overrightarrow{AB}</math>.
 
3. Démontrer que les points B, C et D sont alignés.
 
 
[[Catégorie:Vecteur]]