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« Manuel de géométrie vectorielle/Colinéarité » : différence entre les versions

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{{Exercice
{{Chapitre
|titre=Colinéarité des vecteurscolinéarité
|idfaculté=mathématiques
|leçon=[[Vecteur]]
|numero=31
|chapitre=3
|niveau=1011
|précédent=[[Vecteur/Translations|Translations]]
|suivant=[[Vecteur/Produit scalaire de deux vecteurs|Produit scalaire de deux vecteurs]]
}}
== Points définis par une relation vectorielle ==
 
=== Exercice ===
== Multiplication d'un vecteur par un nombre réel ==
 
On considère trois points A(2,0), B(2,2) et C(0,-3)
{{Définition|contenu=
Soit <math>\vec{u}</math> un vecteur et <math>\lambda</math> un nombre réel.
 
dans le plan muni d'un repère <math>(O,\vec{i},\vec{j})</math>.
*Si <math>\lambda >0\,</math>, on note <math>\lambda.\vec{u}</math> le vecteur de même direction et de même sens que <math>\vec{u}</math> dont la norme est :
<math>\|\lambda.\vec{u}\|=\lambda.\|\vec{u}\|</math>▼
*Si <math>\lambda <0\,</math>, on note <math>\lambda.\vec{u}</math> le vecteur de même direction et de sens opposé à <math>\vec{u}</math> dont la norme est :
<math>\|\lambda.\vec{u}\|=-\lambda.\|\vec{u}\|</math>
*Si <math>\lambda =0\,</math> alors par définition <math>0.\vec{u}=\vec{0}</math>
}}
 
1° Placer le point E défini par : <math>2.\vec{uAE}=5\vec{uAB}+-4\vec{uAC}</math>▼
NB:Cette définition est cohérente avec la définition de l'addition et de l'opposé, en ce sens que par exemple :
 
2° Déterminer les coordonnées de E par le calcul.
▲:<math>2.\vec{u}=\vec{u}+\vec{u}</math>
:<math>-1.\vec{u}=-\vec{u}</math>
 
3° Placer le point F défini par : <math>\vec{AE}=2\vec{AB}+\frac{3}{2}\vec{AC}</math>
== Colinéarité de deux vecteurs du plan ==
 
4° Déterminer les coordonnées de F par le calcul.
{{Définition|contenu=
Deux vecteurs non nuls <math>\vec{u}</math> et <math>\vec{v}</math> sont '''colinéaires'''
 
== Alignement ==
si ils ont même direction, ou si l'un au moins des deux est nul.
 
Dans le plan muni d'un repère <math>(O,\vec{i},\vec{j})</math>,
}}
 
:on donne les points A(3,-1) et C(-1,2).
NB : Le vecteur nul <math>\vec{0}</math> est donc colinéaire à tout autre vecteur.
 
Soient B et D tels que :
{{Propriété|contenu=Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si il existe un réel <math>\lambda\,</math> tel que :
 
:<math>\vec{uOB}=\lambda.\vec{v}</math> ou bien <math>\vec{v}=\lambda.-3\vec{uOA}</math>
}}
 
▲:<math>\|\lambda.\vec{uOD}\|=\lambda.\|-3\vec{uOC}\|</math>
== Colinéarité et alignement ==
 
1° Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
{{Théorème|contenu=Trois points A, B et C sont alignés ssi <math>\vec{AB}</math> et <math>\vec{AC}</math> sont colinéaires}}
 
2° Soit M le milieu de [BD] et N celui de [AC]. Déterminer les coordonnées de M et N.
== Colinéarité et parallélisme ==
{{Théorème|contenu=Deux droites sont parallèles ssi leurs vecteurs directeurs sont colinéaires}}
 
3° Démontrer que O, M et N sont alignés.
== Colinéarité et coordonnées dans le plan ==
 
{{Propriété|contenu=Dans le plan muni d'un repère <math>(O,\vec{i},\vec{j})</math>,deux vecteurs <math>\vec{u}(x;y)\,</math> et <math>\vec{v}(x';y')\,</math> sont colinéaires
 
si et seulement si :
 
:<math>xy'-x'y=0\,</math>
}}
 
[[Catégorie:Vecteur]]
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