« Manuel de géométrie vectorielle/Colinéarité » : différence entre les versions

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{{Exercice
{{Chapitre
|titre=Colinéarité des vecteurscolinéarité
|idfaculté=mathématiques
|leçon=[[Vecteur]]
|numero=31
|chapitre=3
|niveau=1011
|précédent=[[Vecteur/Translations|Translations]]
|suivant=[[Vecteur/Produit scalaire de deux vecteurs|Produit scalaire de deux vecteurs]]
}}
==Points définis par une relation vectorielle==
 
===Exercice===
==Multiplication d'un vecteur par un nombre réel==
 
On considère trois points A(2,0), B(2,2) et C(0,-3).
{{Définition|contenu=
Soit <math>\vec{u}</math> un vecteur et <math>\lambda</math> un nombre réel.
 
1° Placer le point E défini par : <math>\vec{AE}=5\vec{AB}-4\vec{AC}</math>
*Si <math>\lambda >0\,</math>, on note <math>\lambda.\vec{u}</math> le vecteur de même direction et de même sens que <math>\vec{u}</math> dont la norme est :
<math>\|\lambda.\vec{u}\|=\lambda.\|\vec{u}\|</math>
*Si <math>\lambda <0\,</math>, on note <math>\lambda.\vec{u}</math> le vecteur de même direction et de sens opposé à <math>\vec{u}</math> dont la norme est :
<math>\|\lambda.\vec{u}\|=-\lambda.\|\vec{u}\|</math>
*Si <math>\lambda =0\,</math> alors par définition <math>0.\vec{u}=\vec{0}</math>
}}
 
2°Déterminer les coordonnées de E par le calcul.
NB:Cette définition est cohérente avec la définition de l'addition et de l'opposé, en ce sens que par exemple :
 
3°Placer le point F défini par : <math>2.\vec{uAE}=2\vec{uAB}+\frac{3}{2}\vec{uAC}</math>
:<math>-1.\vec{u}=-\vec{u}</math>
 
4°Déterminer les coordonnées de F par le calcul.
==Colinéarité de deux vecteurs du plan==
 
{{Définition|contenu=
Deux vecteurs non nuls <math>\vec{u}</math> et <math>\vec{v}</math> sont '''colinéaires'''
 
si ils ont même direction, ou si l'un au moins des deux est nul.
 
}}
 
NB : Le vecteur nul <math>\vec{0}</math> est donc colinéaire à tout autre vecteur.
 
{{Propriété|contenu=Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si il existe un réel <math>\lambda\,</math> tel que :
 
:<math>\vec{u}=\lambda.\vec{v}</math> ou bien <math>\vec{v}=\lambda.\vec{u}</math>
}}
 
==Colinéarité et alignement==
 
{{Théorème|contenu=Trois points A, B et C sont alignés ssi <math>\vec{AB}</math> et <math>\vec{AC}</math> sont colinéaires}}
 
==Colinéarité et coordonnées dans le plan==
 
{{Propriété|contenu=Dans le plan muni d'un repère <math>(O,\vec{i},\vec{j})</math>,deux vecteurs <math>\vec{u}(x;y)\,</math> et <math>\vec{v}(x';y')\,</math> sont colinéaires
 
si et seulement si :
 
:<math>xy'-x'y=0\,</math>
}}
 
[[Catégorie:Vecteur]]