Différences entre les versions de « Cristallographie géométrique/Symétrie de corps simples et molécules »

ajouts
m (cube avant tétraèdre)
(ajouts)
== Parallélépipède ==
[[Image:Parallelepiped.svg|thumb|upright=0.6|Parallélépipède.]]
LesUn parallélépipède quelconque contient six faces, d'undouze parallélépipèdearêtes quelconqueet huit sommets. Ses faces sont des parallélogrammes parallèles deux à deux. Les arêtes du parallélépipède ne forment pas d'angles droits ; seules les arêtes parallèles d'une face sont de longueur égale.
 
Le seul élément de symétrie présent est le centre d'inversion : la présence d'axes de rotation ou de roto-inversion impliquerait des angles non quelconques entre les arêtes. Le parallélépipède ne possède donc pas de direction de symétrie. Le groupe de symétrie ponctuel du parallélépipède est donc <math>\bar{1}</math>.
 
La maille conventionnelle d'un cristal triclinique est un parallélépipède.
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[[Image:Quader.svg|thumb|upright=0.6|Pavé droit.]]
LesUn pavé droit contient six faces, d'undouze pavéarêtes droitet huit sommets. Ses faces sont toutes des rectangles.
 
Le pavé droit possède trois axes de rotation d'ordre 2 perpendiculaires entre eux, passant chacun par le centre de deux faces opposées. Ces axes de rotation s'intersectent au centre du pavé droit, qui est un centre d'inversion. Le pavé droit possède également trois plans miroirs perpendiculaires entre eux, passant chacun par le centre des arêtes de quatre faces tautozonales à un axe de rotation et par le centre d'inversion.
 
Il n'existe pas d'autre élément de symétrie : le pavé droit est de symétrie orthorhombique et les directions de symétrie pour déterminer le symbole de Hermann-Mauguin sont [100], [010] et [001]. Ces directions sont choisies parallèles aux axes de rotation d'ordre 2. Les faces du pavé droit ont alors pour indices de Laue {100}, {010} et {001} : deux faces opposées sont équivalentes par symétrie.
 
Le groupe ponctuel de symétrie du pavé droit est 2/''m'' 2/''m'' 2/''m''.
 
== Pyramide à base carrée ==
La pyramide à base carrée quelconque possède cinq faces, huit arêtes et cinq sommets. Sa base est un carré, ses quatre autres faces sont des triangles isocèles. L'angle entre les faces de la pyramide est quelconque. Le sommet opposé à la base carrée est l'« apex » de la pyramide. Le patron d'une pyramide à base carrée est représenté dans la figure b) ci-dessous.
 
Il existe un seul axe de rotation d'ordre 4, passant par le centre de la base carrée et par l'apex. La pyramide à base carrée appartient donc au système tétragonal. En choisissant les directions <110> parallèles aux diagonales de la base, onles trouve quatre plans miroirs perpendiculaires à la base : deux sont perpendiculaires aux directions <100> et deux sont perpendiculaires aux directions <110>. Il n'existe pas d'axefaces de rotation d'ordre 2 ni de plan miroir perpendiculaire à la directionpyramide [001],ont carpour sinon il existerait un sommet opposé à l'apexindices de l'autreLaue côté de la base carrée. De même, la pyramide à base carrée n'est pas centrosymétrique.:
* <math>(00\bar{1})</math> pour la base carrée ;
* {''h''0''l''} pour les faces triangulaires, car l'angle diédral entre la base carrée et une face triangulaire est quelconque.
On trouve quatre plans miroirs perpendiculaires à la base : deux sont perpendiculaires aux directions <100> et deux sont perpendiculaires aux directions <110>. Il n'existe pas d'axe de rotation d'ordre 2 ni de plan miroir perpendiculaire à la direction [001], car sinon il existerait un sommet opposé à l'apex de l'autre côté de la base carrée. De même, la pyramide à base carrée n'est pas centrosymétrique.
 
Le groupe ponctuel de symétrie de la pyramide à base carrée est 4''mm''. Sa projection stéréographique avec les pôles de la pyramide est donnée dans la figure d) ci-dessous.
[[Image:Hexagonal Prism.svg|thumb|upright=0.6|Prisme hexagonal.]]
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Le prisme hexagonal est un prisme droit dont les deux bases opposées sont des hexagones réguliers. Les six autres faces sont des rectangles. Il contient donc huit faces, dix-huit arêtes et douze sommets.
 
Il possède un axe de rotation d'ordre 6 passant par le centre des deux bases hexagonales. Six axes de rotation d'ordre 2 sont perpendiculaires à cet axe et le coupent au centre d'inversion : trois passent par le milieu de deux rectangles opposés et trois passent par le milieu de deux arêtes opposées. Sept plans miroir sont présents : un est perpendiculaire à l'axe de rotation d'ordre 6 ; les six autres contiennent l'axe de rotation d'ordre 6 et un des axes de rotation d'ordre 2.
== Cube ==
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Un cube contient six faces, douze arêtes et huit sommets. Ses faces sont toutes des carrés.
 
Les axes du système cristallin cubique sont naturellement bien adaptés pour décrire la symétrie du cube. Avec ce système de coordonnées, les faces du cube ont pour indices de Laue {100}.
 
Le cube est centrosymétrique : le centre d'inversion est situé sur son centre. Ses quatre grandes diagonales <111> sont des axes de roto-inversion d'ordre 3. Il possède trois axes de rotation d'ordre 4 parallèles aux directions <100> et passant chacun par le centre de deux faces opposées. Les autres axes de rotation sont des axes de rotation d'ordre 2, parallèles aux directions <110> et passant par le centre de deux arêtes opposées : il en existe six.
 
Le cube possède neuf plans miroir :
* trois plans miroir sont perpendiculaires aux directions <100> et passent par le centre des arêtes de quatre faces tautozonales ;
* six plans miroir sont perpendiculaires aux directions <110> et passant par les diagonales de deux faces opposées.
 
Le groupe ponctuel de symétrie du cube est <math>\frac{4}{m}\bar{3}\frac{2}{m}</math>.
 
La maille conventionnelle d'un cristal cubique est un cube.
 
Un exemple de molécule de symétrie cubique est la molécule de [[w:Cubane|cubane]] {{fchim|C|8|H|8}}, représentée dans la figure d) ci-dessous.
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== Octaèdre ==
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Un octaèedre régulier contient huit faces, douze arêtes et six sommets. Ses faces sont toutes des triangles équilatéraux.
 
Un exemple d'anion de symétrie octaédrique est l'anion ferricyanide [Fe(CN){{ind|6}}]{{exp|3−}}, représenté dans la figure c) ci-dessous. L'atome de [[w:Fer|fer]] est situé au centre de l'anion.
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== Cuboctaèdre ==
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Le cuboctaèdre est un cube dont tous les sommets ont été tronqués le long des directions <111>, de façon à avoir de nouveaux sommets aux centres des arêtes du cube initial. Il possède donc les six faces {100} du cube et les huit faces {111} de l'octaèdre, soit quatorze faces en tout. Les faces {100} du cuboctaèdre sont des carrés et les faces {111} des triangles équilatéraux. Chaque face carrée possède quatre faces triangulaires adjacentes et chaque face triangulaire possède trois faces carrées adjacentes.
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Image:Cuboctahedron.jpg|a)