« Cristallographie géométrique/Groupes ponctuels de symétrie » : différence entre les versions

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Si le tableau est symétrique par rapport à sa diagonale (indiquée en bleu clair ci-dessus), cela signifie que pour tout couple d'éléments ''g''{{ind|''i''}} et ''g''{{ind|''j''}} du groupe, ''g''{{ind|''i''}}•''g''{{ind|j}}=''g''{{ind|''j''}}•''g''{{ind|i}} : le groupe est alors abélien et tous les éléments du groupe commutent entre eux. Un exemple de groupe abélien est donné dans la section « [[#Ordre d'un groupe|ordre d'un groupe]] ». Un groupe non abélien est présenté dans la section « [[#Sous-groupes|sous-groupes]] ».

 

Une façon pratique d'établir la table de multiplication d'un groupe est de commencer à reporter dans la première ligne et la première colonne les éléments connus du groupe, en utilisant le même ordre en ligne et en colonne. Si de nouveaux éléments apparaissent lors de la composée de deux éléments, on ajoute de nouvelles lignes et colonnes au tableau jusqu'à ce qu'aucun nouvel élément n'apparaisse.

=== Sous-groupes ===

Chaque groupe '''G''' possède deux sous-groupes triviaux : le groupe lui-même et celui ne contenant que l'identité. Les sous-groupes '''H'''{{ind|''i''}} d'un groupe '''G''' ont une symétrie inférieure à celle de '''G''', sauf dans le cas du sous-groupe trivial '''G'''. En particulier, le système cristallin attaché à un sous-groupe peut être différent de celui du groupe.

 

Certaines propriétés d'un sous-groupe '''H''' de '''G''' se retrouvent dans '''G''' :

* sous-groupe de symétrie monoclinique : 2 ;

* sous-groupe de symétrie triclinique : 1.

 

Pour chaque système cristallin, le groupe ponctuel de symétrie maximale est appelé « holoédrie ». Il s'agit par exemple du groupe 2/''m'' dans le système monoclinique. Un sous-groupe d'une holoédrie contient moins d'éléments que celle-ci et est appelé pour cette raison « mériédrie ».

* le sous-groupe '''H''' constitue la première classe du groupe '''G''' ;

* si ''g{{ind|i}}'' est un élément de '''G''' mais pas de '''H''', la deuxième classe est formée par :

* si ''g{{ind|j}}'' est un élément de '''G''' mais pas de '''H''', et si ''g{{ind|j}}'' n'appartient pas à la deuxième classe, la troisième classe est formée de manière similaire à la deuxième classe avec ''g{{ind|j}}'' ;

* ainsi de suite jusqu'au classement de tous les éléments de '''G'''.

Le théorème de Lagrange permet de déterminer rapidement l'index [i] d'un sous-groupe '''H''' dans le groupe '''G'''.

{{théorème|titre=Théorème de Lagrange|contenu=Si '''H''' est un sous-groupe de '''G''', l'index [i] de '''H''' dans '''G''' est égal au rapport des ordres de '''G''' et '''H''' : <math>[i]=\frac{n_{\mathbf{G}}}{n_{\mathbf{H}}}.</math>}}

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! colspan="2" | Classes à gauche

L'holoédrie du système hexagonal est le groupe non abélien 6''mm'', d'ordre 12. Elle contient six réflexions, dont trois sont de droites miroirs perpendiculaires aux directions <10> et trois sont de droites miroirs perpendiculaires aux directions <21> : les six droites miroirs forment un angle de 30° entre elles et s'intersectent au centre de rotation d'ordre 6. Le groupe 6''mm'' possède deux hémiédries dans le système hexagonal, le groupe non abélien 3''m'' et le groupe cyclique 6, tous deux d'ordre 6. Le groupe 3''m'' contient trois réflexions de droites miroir perpendiculaires aux directions <21>, formant un angle de 60° entre elles et s'intersectant au centre de rotation d'ordre 3. Le groupe 6''mm'' possède aussi une tétartoédrie dans le système hexagonal, le groupe cyclique 3 d'ordre 3.

 

<center><gallery perrow="5">

Image:1 point group (2D).png|1

</gallery></center>

 

[[Image:Group-subgroup relationship (3D).png|thumb|upright=2.5|center|Relations de groupe/sous-groupe.]]